Hemisfério, cilindro e plano - Seja S a superfície delimitada à esquerda pelo hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, y <= 0 , no meio pelo cilindro x^2 + z^2 = a^2, 0 <= y <= a , e à direita pelo plano y = a . Encontre o fluxo exterior de F = yi + zj + xk através de S.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que tanto F quanto a região D (com fronteira S), satisfazem a hipótese do Teorema da Divergência. De modo que, aplicando este teorema, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da região é dado por

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Neste caso, a divergência do campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ x y + ∂ ∂ y z + ∂ ∂ z x = 0

Portanto, o fluxo é igual a

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V = ∭ 0   d V = 0

Resposta

∬ F ∙ n   d σ = 0

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