1.

Calcule ∬ S   F ∙ n d S , onde F = 2 x + x y 2 , - z y , z 2 2 - y 2 z , S é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos z = 0 e z = 1 , cuja base no plano x y é limitada pelas curvas de equações:

x 2 + y - 1 2 = 4 ,     y ≥ 1

x 2 + y + 1 2 = 4 ,     y ≤ - 1

x - 2 2 + y 2 = 1 ,     x ≥ 2

x + 2 2 + y 2 = 1 ,     x ≤ - 2

E o vetor normal é exterior à S .

Resolução
2.

Dentre todos os sólidos retangulares definidos pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ 1 , encontre aquela para o qual o fluxo exterior total de F = - x 2 - 4 x y i - 6 y z j + 12 z k através dos seis lados seja maior. Qual é o maior fluxo?

Resolução
3.

Calcule a integral

∬ ∂ Ω F → . n → d S

Onde F → x , y , z = x - y + z , y - z + x ,   z - x + y , ∂ Ω é a fronteira da região

Ω = ( x , y , z ) | x - y + z 2 + y - z + x 2 + z - x + y 2 ≤ 1

Orientada com a normal n → exterior.

Resolução
4.

Seja S a união das superfícies S 1 S 2 e S 3 dadas pelas equações abaixo:

S 1 : y = x 2 + z 2 ,     0 ≤ y ≤ 1 ;

S 2 : 1 = x 2 + z 2 ,     1 ≤ y ≤ 2 ;

S 3 : y = 3 - x 2 + z 2 ,     2 ≤ y ≤ 3 ;

Calcule ∬ S F → . n →   d S , onde F → é o campo de vetores definido por F → x , y , z = ( e cos ⁡ z ,   z 2 y + ln ⁡ x 2 + 1 ,   y 2 + x 2 z ) e n → é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por S .

Resolução
5.

Determine o fluxo do campo vetorial:

F = y 2 x + x x 2 + y 2 + z 2 , z 2 y + y x 2 + y 2 + z 2 , x 2 z + z x 2 + y 2 + z 2

Através da superfície do solido W limitado pelas esferas de equações: x 2 + y 2 + z 2 = a 2

x 2 + y 2 + z 2 = b 2

0 < a < b

Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido W .

Resolução
6.

Considere o campo vetorial

F = z 2 , 2 y z , 4 cos ⁡ x .

Seja a ∈ ( 0,1 ) uma constante. Determine o fluxo de F através da superfície S definida como a fronteira da região

W = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z ≤ a 1 - a 2 x 2 + y 2

Resolução
7.

Considere a região do espaço euclidiano E ⊂ R 3 limitada pelas superfícies regulares dadas pelas equações:

x 2 + y 2 = 1 ;                 z + y = 1 ;                 z + y = 0

Calcule a integral de superfície

∬ ∂ E   F d S

Do campo espacial F x ,   y ,   z = x y + sin 2 ⁡ y z ,   x y + e x 2 + z 2 , z 2 2 ,   onde a superfície ∂ E está orientada positivamente.

Resolução
8.

Use o Teorema de Divergência para calcular

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S

Onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Resolução
9.

Sejam F x , y , z = ( x , y , z ) um campo vetorial em R 3 e W uma pirâmide de vértices O ,   A ,   B ,   C , onde O = 0,0 , 0 ,   A = 0,1 , 0 ,   B = 0,0 , 1 e C = c , 1,0 ,   ( c > 0 ) . Calcule o valor de c sabendo que

∬ S W   F . n d S + ∬ S A B C   F . n d S = 1

Onde S W é a superfície da pirâmide W , S A B C   é a face de vértices A , B , C , e n é o campo de vetores normais apontando para fora da pirâmide.

Resolução
10.

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = 3 x y 2   i + x e z   j + z 3   k

Através da superfície do sólido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e pelos planos x = - 1 e x = 2 .

Resolução
11.

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = x 4   i - x 3 z 2   j + 4 x y 2 z   k

Através da superfície do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e z = 2 .

Resolução
12.

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = cos ⁡ z + x y 2 i + x e - z   j + s e n   y + x 2 z k

Através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4 .

Resolução
13.

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = 5 x 3 + 12 x y 2 i + y 3 + e y sen ⁡ z j + 5 z 3 + e y cos ⁡ z k

Através da superfície do sólido entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 2

Resolução
14.

Determine o fluxo do campo vetorial:

F = y 2 x + x x 2 + y 2 + z 2 , z 2 y + y x 2 + y 2 + z 2 , x 2 z + z x 2 + y 2 + z 2

Através da superfície do solido W limitado pelas esferas de equações: x 2 + y 2 + z 2 = a 2

x 2 + y 2 + z 2 = b 2

0 < a < b

Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido W .

Resolução
15.

Considere o campo vetorial

F = z 2 , 2 y z , 4 cos ⁡ x .

Seja a ∈ ( 0,1 ) uma constante. Determine o fluxo de F através da superfície S definida como a fronteira da região

W = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z ≤ a 1 - a 2 x 2 + y 2

Resolução
16.

Seja S a união das superfícies S 1 S 2 e S 3 dadas pelas equações abaixo:

S 1 : y = x 2 + z 2 ,     0 ≤ y ≤ 1 ;

S 2 : 1 = x 2 + z 2 ,     1 ≤ y ≤ 2 ;

S 3 : y = 3 - x 2 + z 2 ,     2 ≤ y ≤ 3 ;

Calcule ∬ S F → . n →   d S , onde F → é o campo de vetores definido por F → x , y , z = ( e cos ⁡ z ,   z 2 y + ln ⁡ x 2 + 1 ,   y 2 + x 2 z ) e n → é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por S .

Resolução
17.

Sejam S 1 = ( x , y , z ) | z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 2 e S 2 = x , y , z | z 2 = 1 - x 2 - y 2 , 2 2 ≤ z ≤ 1 ; calcule

∬ S 1   F → . n → d S + ∬ S 2   F → . n → d S

Onde F → x , y , z = x y 2 + e z , y z 2 + e x , z x 2 + e y , a superfície S 1 está orientada pelo vetor normal com coordenada z negativa e S 2 pelo vetor normal com coordenada z positiva.

Resolução
18.

Calcule a integral

∬ ∂ Ω F → . n → d S

Onde F → x , y , z = x - y + z , y - z + x ,   z - x + y , ∂ Ω é a fronteira da região

Ω = ( x , y , z ) | x - y + z 2 + y - z + x 2 + z - x + y 2 ≤ 1

Orientada com a normal n → exterior.

Resolução
19.

Seja F → x , y , z = cos ⁡ z 2 + x y 2 ,     x e - z ,   s e n y 2 + x 2 z .  

  1. Determine o rotacional de F → .
  2. Use o Teorema do divergente para calcular

∬ S F   d S

Onde S é a superfície do sólido limitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2   e   z = 4 - x 2 - y 2 , orientada positivamente .

Resolução
20.

10) Calcule o fluxo do campo F → x ,   y ,   z = x 3 3 + y , y 3 3 , z 3 3 + 2 , através da superfície S do sólido W definido por W = x , y , z ∈ I R 3   ; x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,   x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4 ,   z ≥ x 2 + y 2 , com campo de vetores normais a S apontando para fora de W .

Resolução
21.

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z e o sólido W limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 e z = 4 .

Resolução
22.

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) F → x ,   y ,   z = z + 1 k → e o sólido W limitado pelas superfícies z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .

Resolução
23.

3) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

onde F → = x + y i → + y + z j → + z 2 k → , S é a fronteira do cilindro

W = x ,   y ,   z ∈ R 3 ; x 2 + y 2 ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1

e n → orientada para fora de W .

Resolução
24.

4) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

onde F → x ,   y ,   z = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → , S é a superfícei esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 e n → a orientação normal exterior a S .

Resolução
25.

17) Seja f : R 3 → R de classe C 2 . Seja W um sólido e seja S a fronteira de W , com normal exterior n → . Prove que

∬ S   ∂ f ∂ n → d S = ∭ W   ∇ 2 f   d x d y d z

Onde ∂ f ∂ n → é a derivada direcional de f na direção do vetor n → .

Resolução
26.

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo ∬ ∑ F →   .   d S → do campo

F → = 4 y e z 5 ,   - x e z 5 ,   5

através ∑ = x , y , z z = x 2 + y 2 4 ,   z ≤ 1 - x 2 4 - y 2 orientada pelo vector normal N →   tal que N →   . k ^ > 0 .

Resolução
27.

Seja F :   R 3 →   R 3   o campo vetorial definido por

F → x , y , z = 3 x + cos 2 ⁡ ( y z ) ,   - e x + z 2 + π , 5 x 2 + y 2   .

Considere E = x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 1 - x - y , x ≥ 0 , y ≥ 0 } e S a superfície que é a fronteira de E com orientação positiva. Calcule

∬ s F . n d S  

Resolução
28.

Seja V → um campo vetorial de classe C 1 em R 3 e S a superfície que delimita um paralelepípedo retangular cheio E , orientada pela normal unitária exterior n → . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se R o t V → = 0 e V → = R o t U → para algum campo vetorial U → de classe C 2 em todo E , então existe um campo escalar φ tal que ∇ φ é diferenciável, V → = ∇ φ e d i v ∇ φ = 0 em todo E.
  2. Se R o t V → = 0 e V → = R o t U → para um campo vetorial U → de classe C 2 em todo E , então a integral de superfície ∬ S R o t U → ⋅ n → d S = 1 .
  3. Se V → fosse o campo V → x , y , z = x , y , z então o volume de E seria igual a 1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S .

Podemos afirmar que:

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
  3. Todas as afirmações são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
  5. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Resolução
29.

Calcule o fluxo do campo vetorial

F = ( 3 x y 2 , x e z , z 3 ) ,

onde S   é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e os planos x = - 1 e x = 2 .

Resolução
30.

Use o Teorema do divergente para determinar o fluxo de

F x , y , z = x 4   i → - x 3 z 2   j → + 4 x y 2 z   k → ,

Através da superfície S delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos z = x + 2 e z = 0 , com vetor normal exterior.

Resolução
31.

Seja S ⊂ R 3 uma superfície fechada (isto é, com fronteira vazia), lisa por partes e orientada pela normal unitária exterior N → . Sejam R a região limitada por S e F → um campo de classe C 2 definido em um conjunto aberto contendo S e R . Considere as afirmações:

(I) O volume de R é igual a

1 3 ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

(II) ∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 0 .

(III) Se F → é gradiente, então

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0 .

Podemos afirmar que:

a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

b) todas as afirmações são falsas.

c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

d) todas as afirmações são verdadeiras.

e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Resolução
32.

Seja F → um campo vetorial de classe C 1 em Ω = R 3 \ { ( 0.0 . 0 ) } .   Analise as seguintes afirmações.

(I) Se r o t   F → = 0 → então F → é conservativo.

(II) Se F → é gradiente então d i v   F → = 0 .

(III) Se d i v   F → = 0 então r o t   F → = 0 → .

Podemos afirmar que:

a) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

b) todas as afirmações são verdadeiras.

c) todas as afirmações são verdadeiras.

d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

e) apenas a afirmação (I) é verdadeira.

Resolução
33.

Seja F → o seguinte campo de vetores

F → x , y , z = x i → + z j → + y k → , ∀ x , y , z ∈ R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. ∫ γ F → ⋅ d r → = 2 , em que γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t