Lista de Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss
Calcule a integral
Onde , é a fronteira da região
Orientada com a normal exterior.
Ver solução completaCalcule , onde , é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos e , cuja base no plano é limitada pelas curvas de equações:
E o vetor normal é exterior à .
Ver solução completaDentre todos os sólidos retangulares definidos pelas desigualdades , , , encontre aquela para o qual o fluxo exterior total de através dos seis lados seja maior. Qual é o maior fluxo?
Ver solução completaDetermine o fluxo do campo vetorial:
Através da superfície do solido limitado pelas esferas de equações:
Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido .
Ver solução completaSeja a união das superfícies e dadas pelas equações abaixo:
Calcule , onde é o campo de vetores definido por e é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por .
Ver solução completaConsidere o campo vetorial
Seja uma constante. Determine o fluxo de através da superfície definida como a fronteira da região
Ver solução completaConsidere a região do espaço euclidiano limitada pelas superfícies regulares dadas pelas equações:
Calcule a integral de superfície
Do campo espacial onde a superfície está orientada positivamente.
Ver solução completaUse o teorema do divergente para calcular o fluxo de
Através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Ver solução completaUse o teorema do divergente para calcular o fluxo de
Através da superfície do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelos planos , , e .
Ver solução completaUse o teorema do divergente para calcular o fluxo de
Através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Ver solução completaUse o teorema do divergente para calcular o fluxo de
Através da superfície do sólido entre as esferas e
Ver solução completaDetermine o fluxo do campo vetorial:
Através da superfície do solido limitado pelas esferas de equações:
Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido .
Ver solução completaSejam e ; calcule
Onde , a superfície está orientada pelo vetor normal com coordenada negativa e pelo vetor normal com coordenada positiva.
Ver solução completaConsidere o campo vetorial
Seja uma constante. Determine o fluxo de através da superfície definida como a fronteira da região
Ver solução completaSeja a união das superfícies e dadas pelas equações abaixo:
Calcule , onde é o campo de vetores definido por e é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por .
Ver solução completa1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:
a) e o sólido limitado pelas superfícies e .
Ver solução completaSeja
- Determine o rotacional de .
- Use o Teorema do divergente para calcular
Onde S é a superfície do sólido limitado pelos paraboloides e, orientada positivamente
Ver solução completaCalcule a integral
Onde , é a fronteira da região
Orientada com a normal exterior.
Ver solução completa10) Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido definido por , com campo de vetores normais a apontando para fora de .
Ver solução completa1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:
a) e o sólido limitado pelas superfícies e .
Ver solução completa17) Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que
Onde é a derivada direcional de na direção do vetor .
Ver solução completaSeja um campo vetorial de classe em e a superfície que delimita um paralelepípedo retangular cheio , orientada pela normal unitária exterior . Considere as seguintes afirmações:
- Se e para algum campo vetorial de classe em todo , então existe um campo escalar tal que é diferenciável, e em todo E.
- Se e para um campo vetorial de classe em todo , então a integral de superfície .
- Se fosse o campo então o volume de seria igual a .
Podemos afirmar que:
Escolha uma:
- Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
- Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
- Todas as afirmações são verdadeiras.
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Calcule o fluxo do campo vetorial
onde é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e os planos e .
Ver solução completaSeja um campo vetorial de classe em Analise as seguintes afirmações.
(I) Se então é conservativo.
(II) Se é gradiente então .
(III) Se então .
Podemos afirmar que:
a) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
b) todas as afirmações são verdadeiras.
c) todas as afirmações são verdadeiras.
d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
e) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
Ver solução completaSeja uma superfície fechada (isto é, com fronteira vazia), lisa por partes e orientada pela normal unitária exterior . Sejam a região limitada por e um campo de classe definido em um conjunto aberto contendo e . Considere as afirmações:
(I) O volume de é igual a
(II)
(III) Se é gradiente, então
Podemos afirmar que:
a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
b) todas as afirmações são falsas.
c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Ver solução completaSeja o seguinte campo de vetores
.
Considere as seguintes afirmações:
- , em que , .
- , em que .
- , em que , e é a normal a satisfazendo .
- , em que , e é a normal a satisfazendo .
Escolha uma:
- Apenas 3 afirmações são corretas.
- Apenas 2 afirmações são corretas.
- Nenhuma afirmação é correta.
- Apenas 1 afirmação é correta.
- Todas as afirmações são corretas
Seja um campo de vetores de classe em , que não é identicamente nulo. Considere as seguintes afirmações:
- Se é conservativo em , então em .