Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

55. y = (t.tg t)^10

Passo 1

Então pessoal, para conseguirmos resolver esse exercício devemos nos lembrar da regra da cadeia e da regra do produto, beleza? Utilizaremos a regra da cadeia para derivar a função como um todo, no entanto, ainda sim precisaremos derivar a função mais interna, que é aquele produto, sacou? A regra do produto é dada por:

g = u . v

g ' = u ' . v + u . v '

Onde u e v são funções de x , ok? Sendo assim, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivar a função mais externa, teremos:

d y d t = 10 . t . t g   t 10 - 1 . ( t . t g   t ) '

∴ d y d t = 10 . t . t g   t 9 . ( t . t g   t ) '  

Agora, como já comentado, só precisamos descobrir a derivada daquele produto utilizando a regra do produto que citamos.

Passo 3

Vamos fazer o seguinte:

u = t ⇒   u ' = 1

v = t g   t ⇒ v ' = s e c ² t

Jogando na regra do produto, teremos:

g ' = u ' . v + u . v '

g ' = 1 . t g   t + t . s e c ² t

∴ g ' = t g   t + t . s e c ² t

Passo 4

Agora que já encontramos tudo, basta substituirmos em d y d t , se liga:

d y d t = 10 . t . t g   t 9 . ( t . t g   t ) '  

∴ d y d t =   10 . t . t g   t 9 . ( t g   t + t . s e c 2 t )

Resposta

d y d t =   10 . t . t g   t 9 . ( t g   t + t . s e c 2 t )

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