Enunciado

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = ln ⁡ ( 2 e - t sen ⁡ t )

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Aqui temos a composição de f t = ln ⁡ t com g t = 2 e - t sen ⁡ t . Pela regra da cadeia temos que

y ' = f ' g t ⋅ g ' t

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

f ' t = 1 t

A segunda derivada vai pedir a regra do produto, pois temos o produto de h t = sen ⁡ t com w t = 2 e - t . Pela regra da cadeia temos que

g ' t = h ' t w t + h t w ' ( t )

Pela tabela de derivadas temos que

h ' t = cos ⁡ t

w ' t = - 2 e - t

Assim,

g ' t = 2 e - t cos ⁡ t - 2 e - t sen ⁡ t = 2 e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = 1 2 e - t sen ⁡ t 2 e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t = cos ⁡ t - sen ⁡ t sen ⁡ t

Resposta

y ' = cos ⁡ t - sen ⁡ t sen ⁡ t

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