Enunciado

Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y e, relação à variável apropriada.

y = 3 x + 4 2 x - 4 10

Passo 1

A ideia de fazer a derivada logarítimica é lembrar essa parada de derivar logaritmo:

ln ⁡ f x ' = f ' x f x

Isso é consequência da regra da cadeia, então basicamente o que fazemos é, tascar ln na equação, derivar implicitamente e usar essa propriedade.

Derivar implicitamente é só colocar o y ' quando derivarmos qualquer coisa de y

Vamso la?

Passo 2

Aplicando ln

ln ⁡ y = ln ⁡ 3 x + 4 2 x - 4 10

Primeiro:

ln ⁡ y = ln ⁡ 3 x + 4 10 2 x - 4 10

Vamos usar as propriedades de log para abrir tudo isso:

ln ⁡ y = ln ⁡ 3 x + 4 10 - ln ⁡ 2 x - 4 10

Vamos escrever:

3 x + 4 10 = 3 x + 4 1 10

2 x - 4 10 = 2 x - 4 1 10

Vamos ter:

ln ⁡ y = ln ⁡ 3 x + 4 1 10 - ln ⁡ 2 x - 4 1 10

ln ⁡ y = 1 10 ln ⁡ 3 x + 4 - 1 10 ln ⁡ 2 x - 4

Tudo limpo para aplicar a derivada

Passo 3

Derivando loucamente:

ln ⁡ y ' = 1 10 ln ⁡ 3 x + 4 - 1 10 ln ⁡ 2 x - 4 '

y ' y = 1 10 ln ⁡ 3 x + 4 ' - 1 10 ln ⁡ 2 x - 4 '

y ' y = 3 10 3 x + 4 - 2 10 2 x - 4

Podemos juntar essas frações:

y ' y = 3 2 x - 4 - 2 3 x + 4 10 3 x + 4 2 x - 4

y ' y = 6 x - 12 - 6 - 8 10 3 x + 4 2 x - 4

y ' y = - 20 10 3 x + 4 2 x - 4

y ' y = - 2 3 x + 4 2 x - 4

Sobrou um y ali, vamos passar para a direita multiplicando:

y ' = y - 2 3 x + 4 2 x - 4

E agora?

Calma jovem gafanhoto, vamos usar:

y = 3 x + 4 2 x - 4 10

Ai nossa derivada fica:

y ' = 3 x + 4 2 x - 4 10 - 2 3 x + 4 2 x - 4

Resposta

y ' = 3 x + 4 2 x - 4 10 - 2 3 x + 4 2 x - 4

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