Enunciado

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = ln ⁡ ( cos 2 ⁡ θ )

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Aqui temos a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = cos 2 ⁡ θ . Pela regra da cadeia temos que

y ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

f ' θ = 1 θ

A segunda derivada vai pedir a regra da cadeia novamente, pois temos a composição de h θ = θ 2 com w θ = cos ⁡ θ . Pela regra da cadeia temos que

g ' θ = h ' w θ ⋅ w ' ( θ )

Pela tabela de derivadas temos que

h ' θ = 2 θ

w ' θ = - sen ⁡ θ

Assim,

g ' θ = 2 ( cos ⁡ θ ) ( - sen ⁡ θ )

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = 1 cos 2 ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = - 2 tg ⁡ θ

Resposta

y ' = - 2 tg ⁡ θ

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