Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.

y = x e x 2 - x x + 1 2 / 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada da função y = x e x 2 - x x + 1 2 / 3 .

Isso quer dizer que vamos precisar aplicar a função logarítmica dos dois lados da função, para usar as propriedades de logaritmo e nos livrarmos daquele expoente complicado. Depois, vamos derivar ambos os lados, implicitamente, em relação a x e isolar d y d x na equação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando o logaritmo dos dois lados da equação:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 2 e x 2 - x x + 1 2 3

Agora usando as propriedades de logaritmo, podemos “descer” aquele expoente e organizar a expressão assim:

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x + x 2 - x + 2 3 ln ⁡ ( x + 1 )

Beleza, então podemos derivar todo mundo em relação a x (só não esquece que y é uma função de x , então na hora de derivar ele, a gente acrescenta um d y d x ). Temos:

1 y ∙ d y d x = 1 2 ⋅ 1 x + 2 x - 1 + 2 3 ⋅ 1 x + 1 ∙ x + 1 '

Onde x + 1 ' é a derivada de x + 1 , que aparece aí porque a gente usa a regra da cadeia na derivação do ln. Assim, temos:

1 y ∙ d y d x = 1 2 x + 2 x - 1 + 2 3 x + 1 ∙ 1

Agora vamos tentar isolar d y d x . Multiplicando ambos os lados por y :

d y d x = y 1 2 x + 2 x - 1 + 2 3 x + 1

Mas y = x e x 2 - x x + 1 2 / 3 , que é a função que ele nos deu. Substituindo isso na na equação, vamos ter:

d y d x = x e ( x 2 - x ) x + 1 2 / 3 1 2 x + 2 x - 1 + 2 3 x + 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d x = x e ( x 2 - x ) x + 1 2 / 3 1 2 x + 2 x - 1 + 2 3 x + 3

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