Enunciado

Nos exercícios de 57 a 62, faça um esboço do gráfico da função; então, observando as quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre, em cada caso de descontinuidade, por que a Definição 2,6,1 não é satisfeita.

61)   f x = 1 x , s e   x ≤ 1 x 2 - 1 ,   s e   x > 1

Passo 1

Precisamos avaliar os limites laterais do valor limítrofe das condições (x=1) e da condição de existência (x=0) para entender como a função se comporta na região desses valores.

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 0

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 1

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = ∞

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = - ∞

Passo 2

O gráfico da função   f x = 1 x , s e   x ≤ 1 x 2 - 1 ,   s e   x > 1   será:

Passo 3

Agora vamos verificar as condições da Definição 2.6.1

  1. Para x = 1
    1. f ( 1 ) = 1  
    2. lim x → 1 ⁡ f ( x )   n ã o   e x i s t e

    Portanto, como a condição (ii) não foi sastisfeita, a função é descontinua em x = 1 .

  2. Para x = 0
  1. f 0   n ã o   e s t á   d e f i n i d o

Portanto, como a condição (i) não foi satisfeita, a função é descontinua em x = 0 .

Resposta

Gráfico da função:

A função é descontínua em x = 0   e   x = 1

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