Enunciado

Considere a função dada por

f x = 2 x 3 - x 2 + 3 x .

a) Verifique que f =e contínua em [ 0 , + ∞ [ .

b) Mostre que 1 é a única raiz de f em ] 0 , + ∞ [ , que f 2 > 0 e que f 1 2 < 0 .

c) Conclua que f x > 0 em ] 1 , + ∞ [ e que f x < 0 em ] 0,1 [ .

Passo 1

a) Temos a subtração de um polinômio de grau 3 , que é contínua em R , e uma raiz que é contínua onde existir, então a diferença é contínua no domínio de f , ou seja, a raiz deve existir.

A raiz existe em:

x 2 + 3 x ≥ 0

Como temos uma parábola que o coeficiente de x 2 é positivo, temos que sua porção positiva está na região externa a suas raízes:

x x + 3 ≥ 0

Se as raízes são zero e - 3 .

x ≤ - 3

Ou

x ≥ 0

Se f é contínua em - ∞ , 3 e em 0 , + ∞ . Logo, provamos que f é contínua em [ 0 , + ∞ [ .

Passo 2

b) Temos que, para x > 0 :

2 x 3 - x 2 + 3 x = 0

2 x 3 = x 2 + 3 x

4 x 6 = x 2 + 3 x

Se x ≠ 0 :

4 x 5 - x - 3 = 0

Se temos que 1 é raiz, podemos dividir o polinômio por x - 1 , para procurarmos raízes diferentes de 1 :

4 x 5 - x - 3 x - 1 = 0

4 x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 3 = 0

Quando x > 0 , cada um dos termos é maior que zero, portanto, não há raiz.

Assim, 4 x 5 - x - 3 , não há raiz diferente de 1 ;

Logo, provamos que 1 é a única raiz de f em ] 0 , + ∞ [ .

Também temos:

f 2 = 2 ( 2 ) 3 - 2 2 + 3 2 = 16 - 10 > 0

f 1 2 = 2 ( 1 2 ) 3 - 1 2   2 + 3 1 2 = 1 - 2 7 4 < 0

Logo f 2 > 0 e que f 1 2 < 0 .

Passo 3

c) Se sabemos que f 0 = 0 , f 1 = 0 , não existe outras raízes além de 0 e 1 para f e que que f 1 2 < 0 , então para 0 < x < 1 temos f x < 0 , e se após o x = 1 f não passa no zero novamente, além de f 2 > 0 , então para x > 1 temos f x > 0 . Logo concluímos que f x > 0 em ] 1 , + ∞ [ e que f x < 0 em ] 0,1 [ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua em todos os pontos, exceto em - 1 , 0 e 1 .
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x s ex ∈ Q - xs ex ∉ Q
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x 2 - 1 s ex ∈ Q - x 2 + 1s ex ∉ Q
Prove que f x = x n é contínua.
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x - x ⟦ ⟧