Enunciado

Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.

62

∫ s e n ѳ ⋅ s e n   2 ѳ ⋅ s e n 3 ѳ   d ѳ

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas.

Passo 2

As relações que vamos usar são

sen ⁡ a sen ⁡ b = - cos ⁡ a + b + c o s ⁡ ( a - b ) 2

s e n 2 a = 2 s e n a cos ⁡ a

sen ⁡ a cos ⁡ b = sen ⁡ a + b + s e n ⁡ ( a - b ) 2

Passo 3

Vamos reescrever nossa integral agora dessa forma

∫ - cos ⁡ ( 2 + 1 ) ѳ + cos ⁡ ( 2 - 1 ) ѳ 2 ⋅ s e n 3 ѳ   d ѳ

Agora vamos tirar a constante de dentro da integral

1 2 ∫ [ - cos ⁡ 3 ѳ + cos ⁡ ѳ ] ⋅ s e n 3 ѳ   d ѳ

Podemos também usar a propriedade distributiva para reescrever novamente a integral

1 2 ∫ [ - cos ⁡ 3 ѳ ⋅ s e n   ( 3 ѳ ) + cos ⁡ ѳ ⋅ s e n ( 3 ѳ ) ] d ѳ

Finalmente podemos escrever essa integral como a soma de duas integrais

- 1 2 ∫ - cos ⁡ 3 ѳ ⋅ s e n   ( 3 ѳ ) d ѳ + 1 2 ∫ cos ⁡ ѳ ⋅ s e n ( 3 ѳ ) d ѳ

Passo 4

Beleza, agora vamos calcular essas integrais.

Na primeira integral

- 1 2 ∫ cos ⁡ 3 ѳ ⋅ s e n   ( 3 ѳ ) d ѳ

Vamos usar a segunda relação trigonométrica

- 1 4 ∫ 2 ⋅ cos ⁡ 3 ѳ ⋅ s e n   3 ѳ d ѳ = - 1 4 ∫   s e n 2 ⋅ 3 ѳ d ѳ

Para resolver essas integrais basta fazer uma substituição onde o argumento dentro do seno é nosso u .

E aí teremos

1 24 cos ⁡ 6 ѳ + C

Passo 5

Agora a segunda integral

1 2 ∫ cos ⁡ ѳ ⋅ s e n ( 3 ѳ ) d ѳ

Para resolver temos que usar a segunda relação trigonométrica

s e n 3 ѳ ⋅ c o s ⁡ ( ѳ ) =   sen ⁡ ( 3 + 1 ) ѳ + s e n ⁡ ( ( 3 - 1 ) ѳ ) 2

Então nossa integral fica

1 4 ∫ s e n 4 ѳ + s e n 2 ѳ d ѳ

Podemos separar isso em duas integrais mais uma vez

1 4 ⋅ [ ∫ s e n 4 ѳ d ѳ + ∫ s e n 2 ѳ d ѳ   ]      

Para resolver essas integrais basta fazer uma substituição onde o argumento dentro do seno é nosso u .

E aí teremos

1 4 ⋅ [ ∫ s e n 4 ѳ d ѳ + ∫ s e n 2 ѳ d ѳ   ] = 1 4 - 1 4 cos ⁡ 4 ѳ - 1 2 s e n 2 ѳ + C  

E isso resulta em

- 1 16 cos ⁡ 4 ѳ - 1 8 cos ⁡ 2 ѳ + C

Passo 6

Agora a gente soma os valores das integrais

1 24 cos ⁡ 6 ѳ - 1 16 cos ⁡ 4 ѳ - 1 8 cos ⁡ 2 ѳ + C

Resposta

1 48 2 cos ⁡ 6 ѳ - 3 cos ⁡ 4 ѳ - 6 cos ⁡ 2 ѳ + C

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