Enunciado

Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

O segmento de reta que liga os pontos médios de dois lados opostos de qualquer quadrilátero e o segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais do quadrilátero dividem-se ao meio.

Passo 1

Para começar, vamos imaginar um quadrilátero cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,b) e D (a,0).

O ponto médio para o lado AB ( M A B ):

x A B = x A + x B 2 = 0

y A B = y A + y B 2 = b 2

O ponto médio para o lado BC ( M B C ):

x B C = x B + x C 2 = a 2

y B C = y B + y C 2 = b

O ponto médio para o lado CD ( M C D ):

x C D = x C + x D 2 = a

y C D = y C + y D 2 = b 2

O ponto médio para o lado AD ( M A D ):

x A D = x A + x D 2 = a 2

y A D = y A + y D 2 = 0

Lembrando que os lados opostos são AB – CD e BC – AD. O ponto médio do segmento que liga M A B e M C D é calculado da mesma forma:

x A B - C D = x A B + x C D 2 = a 2

y A B - C D = y A B + y C D 2 = b 2

O ponto médio do segmento que liga M B C e M A D :

x B C - A D = x B C + x A D 2 = a 2

y B C - A D = y B C + y A D 2 = b 2

Verificamos que as retas que unem os pontos médios dos lados opostos se encontram nos seus respectivos pontos médios ( a 2 , b 2 ).

Passo 2

Agora precisamos saber se as diagonais também se cruzam neste ponto.

Para a diagonal AC:

x A C = x A + x C 2 = a 2

y A C = y A + y C 2 = b 2

Para a diagonal BD:

x B D = x B + x D 2 = a 2

y B D = y B + y D 2 = b 2

Sendo assim, retas que unem os pontos médios dos lados opostos e as diagonais dividem-se ao meio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dadas as retas r :x - 1=y - 3 - 1 = z + 1 e ⎧x= - λ⎧ s⎢y= 1+ λ ⎢ ⎩z= 1 +2 λ⎩ ,escreva equações paramétricas da reta t , concorrente com r e s e paralela ao vetor ( - 2,1 , 1 ) .
É dado o Δ A B C com A=( 2,3 , - 1 ) , B=( 4 , - 1,5 ) e C=( 0,3 , - 1 ) .Escreva equações das três medianas.Ache a interseção de duas delas.Mostre que a terceira mediana passa pela interseção das out
As retas ⎧x=1+ 3 α⎧ b⎢ y= 1- α ⎢ ⎩ z= - 3+ 5 α⎩ ⎧ x= 1⎧ c⎢ y= 1-2 β ⎢ ⎩z=- 3+3 β⎩ passam pelo vértice A do triângulo A B C e, respectivamente, pelos vértices B e C . Determine as coordenadas de A , B
Determine a , b , c e d para que as retas r e s coincidam, sendo: ⎧ x=1+ 4 λ⎧ r⎢ y= a- 2 λ ⎢ ⎩ z= - 1+ b λ⎩ ⎧ x= 9+2 β⎧ s⎢ y= - 1+c β ⎢ ⎩z=d+3 β⎩
São dadas três retas r , s e t : r {x - 7 4=y + 2 - 2=z - 2 3 . ⎧ x= 3-4 m⎧ s⎢ y= 2 m ⎢ ⎩z= - 1 - 3 m⎩ e t que passa por A = ( 1 , - 1,0 ) e B =( 7 , - 6,7 ) .Escreva equações paramétricas da reta r e