Enunciado

Determine a , b , c e d para que as retas r e s coincidam, sendo:

⎧ x   =   1   + 4 λ

r   ⎢ y   = a   - 2 λ

                ⎩ z   = - 1   + b λ

⎧ x   = 9   +   2 β

  s   ⎢ y   = - 1   +   c β

                  ⎩   z   =   d   +   3 β

Passo 1

E ai, pessoal! Para que as retas coincidam, só temos que igualar as coordenadas das duas retas e resolver o sistema de equações para encontrar a , b , c e d . Vamos lá!

x   =   1   + 4 λ = 9   +   2 β

y = a   - 2 λ = - 1   +   c β

z = - 1   + b λ =   d   +   3 β

A primeira equação resulta em

1   + 4 λ = 9   +   2 β

⇒ 4 λ - 8 =   2 β

⇒   β = 2 λ - 4

Substituindo esse resultado na segunda equação nos dá

a   - 2 λ = - 1   +   c β

⇒ a   - 2 λ = - 1   +   c ( 2 λ - 4 )

⇒ λ ( 2 c + 2 ) = a + 1 + 4 c

No lado esquerdo temos termos de primeira ordem em λ e no lado direito termo termos de ordem zero em λ . A equação acima só pode ser verdadeira se ambos os lados forem nulos:

2 c + 2 = 0 ⇒ c = - 1

a + 1 + 4 c = 0 ⇒ a = - 1 - 4 c = - 1 + 4 = 3

Agora vamos substituir   β = 2 λ - 4 na terceira equação

- 1   + b λ =   d   +   3 β ⇒ - 1   + b λ =   d   +   6 λ - 12 ⇒ ( b - 6 ) λ =   d   - 11

Segundo o mesmo raciocínio usado acima, temos

b - 6 ⇒ b = 6

  d   - 11 = 0 ⇒ d = 11

Resposta

a = 3

b = 6

c = - 1

d = 11

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva equações paramétricas da reta r , perpendicular às retas s e t e que passa pela intersecção das mesmas. Dados: ⎧ x=1+α⎧ s⎢ y=- α ⎢ e ⎩ z=2 +α⎩ ⎧x=2- β⎧ t ⎢y=- 1+β ⎢ ⎩z=1 +β⎩
São dadas as retas: ⎧ x=1+λ⎧ r⎢ y= 1+ 2 λ ⎢ e ⎩ z=2- λ⎩ ⎧ x= 3- α⎧ s⎢ y= 4- α ⎢ ⎩z= - 1 +2 α⎩ Mostre que r e s encontram-se num ponto P . Dê equações da reta t , que passa por P e é perpendicular a r
Determine equações da reta que passa por ( - 2,0 , 1 ) , cujo vetor diretor é ortogonal a ( 1 , - 2,1 ) e que seja concorrente com x - 2 3= y + 1 - 4 = z - 3 3 .
Ache as equações da reta r que passa pelo ponto B=( 3,1 , 2 ) e é concorrente com as retas s :x + 1 1=y + 2 2 = z - 5 - 2 e t :x - 4 1=y - 1 - 1 = z - 4 - 1 .
Dadas as retas r :x - 1=y - 3 - 1 = z + 1 e ⎧x= - λ⎧ s⎢y= 1+ λ ⎢ ⎩z= 1 +2 λ⎩ ,escreva equações paramétricas da reta t , concorrente com r e s e paralela ao vetor ( - 2,1 , 1 ) .