Enunciado

Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

Se as diagonais de um quadrilátero dividem-se ao meio, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 1

Para começar, precisamos lembrar que paralelogramo são quadriláteros que apresentam lados opostos congruentes e paralelos.

Vamos imaginar um quadrilátero cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,b) e D (a,0). Calculando o ponto médio para cada uma das diagonais AC e BC:

Para AC ( M A C ):

x A C = x A + x C 2 = a 2

y A C = y A + y C 2 = b 2

Para BD ( M B D ):

x B D = x B + x D 2 = a 2

y B D = y B + y D 2 = b 2

Sendo assim, as diagonais possuem seu ponto médio em comum indicando que se cruzam neste ponto, ou seja, se dividem ao meio.

Passo 2

Vimos que as diagonais se dividem ao meio, agora precisamos provar que os lados opostos são congruentes e paralelos.

Ilustrando a situação:

Para saber se os lados opostos são realmente paralelos, precisamos calcular a distância entre os pontos para saber se são congruentes.

Reta A B :

d A B ² = 0 - 0 2 + 0 - b 2 = b ²

Reta oposta CD :

d C D ² = a - a 2 + 0 - b 2 = b ²

Se analisarmos o desenho vamos perceber que a diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos, ABC e ACD. Como a diagonal é a mesma e os lados AB e CD são iguais, temos triângulos congruentes pelo caso LLL (Lado-Lado-Lado). Concluímos então que:

d B C ² = d A D ²

Se os triângulos são congruentes, temos os três ângulos são iguais para cada triângulo:

D Â C = B C ^ A

Segundo o teorema dos ângulos alternos internos, quando uma diagonal cruza duas retas paralelas os ângulos alternos internos possuem posição alternada na região interna e são congruentes. Como é o que ocorre no nosso problema podemos concluir que AD é paralela a BC. A mesma análise pode ser feita e comprovar que AB é paralela a CD.

Comprovamos que lados opostos são paralelos e congruente, ou seja, temos um paralelogramo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dada a reta l tendo a equação Ax + By + C = 0, B≠ 0 , determine o intercepto x.
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Escreva uma equação cujo gráfico seja o eixo x.
Escreva uma equação cujo gráfico seja o conjunto de todos os pontos no eixo x ou y.