Enunciado

Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

Os segmentos de reta que ligam os pontos médios de dois lados consecutivos dos lados de qualquer forma quadrilátera formam um paralelogramo.

Passo 1

Para começar, vamos imaginar um quadrilátero cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,b) e D (a,0).

O ponto médio para o lado AB ( M A B ):

x A B = x A + x B 2 = 0

y A B = y A + y B 2 = b 2

O ponto médio para o lado BC ( M B C ):

x B C = x B + x C 2 = a 2

y B C = y B + y C 2 = b

O ponto médio para o lado CD ( M C D ):

x C D = x C + x D 2 = a

y C D = y C + y D 2 = b 2

O ponto médio para o lado AD ( M A D ):

x A D = x A + x D 2 = a 2

y A D = y A + y D 2 = 0

Calculados os pontos médio de cada lado, a figura terá como vértices: M A B 0 , b 2 , M B C a 2 , b ,   M C D a , b 2 e   M A D a 2 , 0 . Para que um quadrilátero seja classificado como paralelogramo ele deve possuir lados opostos paralelos e congruentes.

Passo 2

Para saber se os lados opostos são realmente paralelos, precisamos calcular a inclinação da reta, se forem iguais então serão paralelas, e a distância entre os pontos para saber se são congruentes.

A inclinação e o tamanho da reta M A B M B C :

m A B - B C = y A B - y B C x A B - x B C = b 2 a 2 = b a

d A B - B C ² = a 2 4 + b 2 4

Do seu lado oposto:

m C D - A D = y C D - y A D x C D - x A D = b 2 a 2 = b a

d C D - A D ² = a 2 4 + b 2 4

A inclinação para a reta M B C M C D :

m B C - C D = y B C - y C D x B C - x C D = b 2 - a 2 = - b a

d B C - C D ² = a 2 4 + b 2 4

Do seu lado oposto:

m A B - A D = y A B - y A D x A B - x A D = - b 2 a 2 = - b a

d A B - A D ² = a 2 4 + b 2 4

Sendo assim, os lados opostos possuem a mesma inclinação, ou seja, são paralelos entre si e congruentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine, através das inclinações, se os três pontos são colineares: (2, -1), (1, 1), (3, 4).
Escreva uma equação cujo gráfico consista em todos os pontos tendo uma abscissa de 4.
Dada a reta l tendo a equação Ax + By + C = 0, B≠ 0 , determine uma equação da reta que passe pela origem e seja perpendicular a l.
Dada a reta l tendo a equação Ax + By + C = 0, B≠ 0 , determine a inclinação
Ache uma equação da reta que satisfaz as condições: passa pelo ponto (1, 4) e é paralela à reta cuja equação é 2 x + 5 y + 7 = 0 .