Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 28, ache ( f^(- 1) ) ' ( d )

25. f (x) = 2 x^2 + 8 x + 7 , x <= - 2 ; d = 1

Passo 1

Para achar ( f^(- 1) ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f (c) = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) != 0 , então ( f^(- 1) ) ' ( d ) existirá e

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f (c) = d

=> 2 c^2 + 8 c + 7 = 1 => 2 c^2 + 8 c + 6 = 0

=> c = (- 8 +- sqrt(8^2 - 4 * 2 * 6))/(2 * 2)

=> c = (- 8 +- sqrt(64 - 48))/(4)

=> c = (- 8 +- sqrt(16))/(4)

=> c = - 3 o u c = - 1

Mas como x <= - 2 , temos que:

c = - 3

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f (x) = 2 x^2 + 8 x + 7

f^' (x) = 4 x + 8

Assim:

f^' (- 3) = 4 (- 3) + 8

= - 4

Agora usando na fórmula do teorema:

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Temos:

(f^(- 1))^' (1) = (1)/(4 (- 3) + 8)

= - (1)/(4)

Resposta

(f^(- 1))^' (1) = - (1)/(4)

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Seja f x = x 3 + 2 e x . Mostre que f é injetora e confirme que f 0 = 2 . Encontre f - 1 ' 2 .