Enunciado

Determine se a função f é injetora examinando o sinal de f ' ( x ) .

(a)   f x = x 2 + 8 x + 1

(b) f x = 2 x 5 + x 3 + 3 x + 2

(c) f x = 2 x + s e n ( x )

(d)   f x = 1 2 x

Passo 1

(a)   f x = x 2 + 8 x + 1

Para examinar o sinal , devemos derivar a função:

  f x = x 2 + 8 x + 1

f ' x = 2 x + 8 > 0

Apesar do resultado, sabemos que uma função quadrática não é injetora.

Passo 2

(b) f x = 2 x 5 + x 3 + 3 x + 2

Derivando a função :

f ' ( x ) = 10 x 4 + 3 x 2 + 3 > 0

Derivada é sempre positiva e é injetora.

Passo 3

(c) f x = 2 x + s e n ( x )

Derivando a função :

f ' x = 2 + cos ⁡ x > 0

Derivada é sempre positiva e é injetora.

Passo 4

(d)   f x = 1 2 x

Derivando a função :

f ' x = 1 2 x ln ⁡ 1 2   > 0

Derivada é sempre positiva e é injetora.

Resposta

(a) não

(b) sim

(c) sim

(d) sim

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