Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 28, ache a d y d x por derivação implícita

1.

x 2 + y 2 = 16

Passo 1

Nesta questão devemos utilizar o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função:

x 2 + y 2 = 16

Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a equação dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem

Passo 3

Isolando dy/dx

Resposta

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Calcular y ' = d y d x das seguintes funções definidas implicitamente. a cos 2 ⁡ ( x + y ) = b
Demonstrar que a reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto ( x 0 ,y 0 ) tem a equação x x 0 a 2 + y y 0 b 2 = 1 .
Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro ( 2,0 ) e raio 2 nos pontos de abscissa 1 .
Em que pontos a reta tangente à curva y 2 = 2 x 3 é perpendicular a reta 4 x - 3 y + 1 = 0 .
18. Calcular y ' = d y d x das sequintes funções definidas implicitamentea) x 3 + y 3 = a 3 b) x 3 + x 2 y + y 2 = 0 c) x + y = a d) y 3 = x - y x + y e) a cos 2 ⁡ ( x + y ) = b f) tg ⁡ y = x y e) e y