Enunciado

Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro ( 2,0 ) e raio 2 nos pontos de abscissa 1 .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a equação da circunferência:

x - 2 2 + y 2 = 4

Agora a gente deriva implicitamente...

2 x - 2 + 2 y   y ' = 0

y ' =   - 2 x + 4 2 y

y ' = - x + 2 y

Passo 2

A gente quer a reta no ponto onde a abcissa é 1 e y = ± 3 .

Vamos fazer no ponto ( 1 ,   3 ) primeiro. A declividade aqui é:

y ' = - 1 + 2 3 = 1 3

Vamos escrever a equação da reta tangente então:

y - 3 = 1 3 x - 1

y = 1 3 x - 1 3 + 3

y = 1 3 x + 2 3

Já pra reta norma, a declividade é: - 3 .

E aí a equação da reta normal é:

y - 3 =   - 3 x - 1

y =   - 3 x + 3 + 3

y =   - 3 x + 2 3

Passo 3

Vamos fazer para o ponto 1 ,   - 3 agora.

A declividade da reta tangente é - 1 3 .

E aí a equação da reta tangente é:

y - - 3 =   - 1 3 x - 1

y =   - 1 3 x + 1 3 - 3

y =   - 1 3 x - 2 3

E a inclinação da reta normal é: 3 .

E a equação é:

y + 3 = 3 x - 1

y = 3 x - 3 - 3

y = 3 x - 2 3

Prontinho! Retas encontradas😉

Resposta

Retas tangentes: y = 1 3 x + 2 3

y =   - 1 3 x - 2 3

Retas normais:

y =   - 3 x + 2 3

y = 3 x - 2 3

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