Enunciado

Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

16) d d x [ 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 ]

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, vamos aplicar primeiro a regra do produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d x 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 + 4 x 2 + 7 2 d d x [ 2 x 3 + 1 4 ]

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d x 4 x 2 + 7 2

Fazemos a derivada da potência de fora:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada dela:

2 4 x 2 + 7 d d x 4 x 2 + 7

E isso será:

16 x 4 x 2 + 7

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d x [ 2 x 3 + 1 4 ]

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d t t 4 = 4 t 3

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

4 2 x 3 + 1 3 d d x 2 x 3 + 1

Resolvendo a derivada na conta de cima:

4 2 x 3 + 1 3 6 x 2

24 x 2 2 x 3 + 1 3

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d x 4 x 2 + 7 2 2 x 3 + 1 4 + 4 x 2 + 7 2 d d x [ 2 x 3 + 1 4 ]

2 x 3 + 1 4   .   16 x 4 x 2 + 7 + 4 x 2 + 7 2   .   24 x 2 2 x 3 + 1 3

Reescrevendo:

8 x ( 4 x 2 + 7 ) 2 x 3 + 1 3 ( 16 x 3 + 21 x + 2 )

Resposta

f ' x = 8 x ( 4 x 2 + 7 ) 2 x 3 + 1 3 ( 16 x 3 + 21 x + 2 )

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