Determine a tangente de y = ((x-1)/(x+1))^2 em x = 0

Passo 1

Questão direta ao ponto. Quando ela nos pede para determinar a tangente, é determinar a reta tangente. Isto é:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. A questão já nos deu x 0 = 0 , falta descobrirmos y 0 , através de substituição direta na equação da tangente.

Mas e o coeficiente angular m ? Como obteremos? Simples! Vamos utilizar nossos conhecimentos de derivadas! Desta forma, o nosso conhecimento m nada mais é que:

m = y ' x 0 = f ' ( x 0 )

Passo 2

Vamos começar por determinar a coordenada y 0 . Substituindo x = 0 na equação da nossa curva, temos:

y = 0 - 1 0 + 1 2 = - 1 2 = 1

Logo, y 0 = 1 .

Passo 3

Vamos agora começar a determinar o coeficiente angular m . Para isto, derivaremos a nossa curva.

y ' = x - 1 x + 1 2 '

d y d x = 2 ⋅ x - 1 x + 1   ⋅ x - 1 x + 1   '

d y d x = 2 ⋅ x - 1 x + 1   ⋅ x - 1 ' ⋅ x + 1 - x - 1 ⋅ x + 1 ' x + 1 2

d y d x = 2 ⋅ x - 1 x + 1   ⋅ 1 ⋅ x + 1 - x - 1 ⋅ 1 x + 1 2

d y d x = 2 ⋅ x - 1 x + 1   ⋅ x + 1 - x + 1 x + 1 2

d y d x = 2 ⋅ x - 1 x + 1   ⋅ 2 x + 1 2

Passo 4

Vamos substituir o valor x = 0 na equação do coeficiente angular. Assim, obtemos:

d y d x = 2 ⋅ 0 - 1 0 + 1 ⋅ 2 0 + 1 2

d y d x = 2 ⋅ - 1 ⋅ 2 = - 4

Logo, m = - 4 .

Passo 5

Substituindo todos os dados na equação da reta, obtemos:

y - 1 = - 4 ( x - 0 )

y = - 4 x + 1

Resposta

y = - 4 x + 1

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