Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar gráfico.

f(x) = 2 \* |x - 3|

Passo 1

Opa!! Belezinha?!!

O enunciado nos deu essa função aqui:

f x = 2 | x - 3 |

Queremos calcular as derivadas laterais dessa funçãozinha e, em seguida, plotar o gráfico.

Para isso, temos que abrir o módulo da função, separando ela em dois casos:

f x = 2 x - 6 ,   x ≥ 3 - 2 x + 6 , x < 3

Feito isso, agora podemos calcular as derivadas laterais no ponto x=3, que é justamente onde acontece o "vértice" do módulo!

Mas como fazemos isso?? Se liga no próximo passo!! 😉

Passo 2

Pessoal, a primeira coisa que podemos fazer é abrir essa função antes de começarmos a trabalhar na questão!

f x = 2 x - 6 ,   x ≥ 3 - 2 x + 6 , x < 3

Se a função y = f ( x ) está definida em x 1 , então as derivadas à direita e a esquerda de f em x 1 , denotadas por f + ' ( x 1 ) e f - ' ( x 1 ) são definidas por:

f + ' x 1 = lim ∆ x → 0 + ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 + ⁡ f x - f x 1 x - x 1

f - ' x 1 = lim ∆ x → 0 - ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 - ��� f x - f x 1 x - x 1

Uma fun��ão é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na função da nossa questão no ponto crítico x = 3 , onde ocorre o módulo:

Para x > 3 , usamos f x = 2 x - 6 .

Dessa forma, a nossa derivada fica:

f ' 3 + = lim ∆ x → 0 + ⁡ 2 3 + ∆ x - 6 - 2 ⋅ 3 + 6 ∆ x = 2

Já para x < 3 , usamos f x = - 2 x + 6 .

Assim, a nossa outra derivada fica:

f ' 3 - = lim ∆ x → 0 - ⁡ - 2 3 + ∆ x - 6 + 2 ⋅ 3 - 6 ∆ x = - 2

Logo, como as derivadas laterais são diferentes, então podemos concluir que realmente não existe derivada em x = 3 !!

Passo 4

O gráfico é formado por duas retas que se encontram no ponto 3 ,   0 .

Para x ≥ 3 a reta sobe com inclinação 2 , e para x < 3 ela desce com inclinação - 2 , formando um " V " , veja:

Resposta

f ' 3 + = 2

f ' 3 - = - 2

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