Enunciado

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim y → + ∞ ⁡ 1 + e 2 y - 2 y

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim y → + ∞ ⁡ 1 + e 2 y - 2 y = ⏞ ∞ 0  

Neste tipo de indeterminação, podemos reescrever o problema:

1 + e 2 y - 2 y = e l n 1 + e 2 y - 2 y = e - 2 y . l n ( 1 + e 2 y )

Portanto o limite pode ser escrito como:

lim y → + ∞ ⁡ 1 + e 2 y - 2 y = lim y → + ∞ ⁡ e - 2 y . l n ( 1 + e 2 y )

Passo 3

Para isso devo saber para onde - 2 y . l n 1 + e 2 y   vai tender, para eu substituir na equação do limite e encontrar o resultado do mesmo. Assim :

l i m y → + ∞   - 2 y . l n 1 + e 2 y = ⏞ ∞ ∞   L ´ H l i m y → + ∞ - 2 1 1 + e 2 y . e 2 y . 2 1 = ⏞ ∞ ∞   L ´ H = l i m y → + ∞   - 4 e 2 y . 2 e 2 y . 2 = - 4  

Passo 4

Assim, o valor do limite procurado é:

lim y → + ∞ ⁡ 1 + e 2 y - 2 y = lim y → + ∞ ⁡ e - 2 y . l n ( 1 + e 2 y ) = lim y → + ∞ ⁡ e - 4 = 1 e 4

Resposta

lim y → + ∞ ⁡ 1 + e 2 y - 2 y = 1 e 4

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