Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → ∞ ⁡ t g h x

Passo 1

Essa questão pode assustar até porque a gente nunca usar tangente hiperbólica, então vamos dar uma relembrada nisso!

Para o s e n h x :

s e n h x = e x - e - x 2

E para o cosh ⁡ x :

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então a t g h x vai ficar o seguinte:

t g h x = s e n h x cosh ⁡ x

logo,

t g h x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

simplificando:

t g h x = e 2 x - 1 e 2 x + 1

Passo 2

voltando para o nosso limite:

L = lim x → ∞ ⁡   e 2 x - 1 e 2 x + 1

A primeira coisa que podemos tentar agora é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá! L = e 2 × ∞ - 1 e 2 × ∞ + 1

Assim,

L = ∞ - 1 ∞ + 1

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → ∞ ⁡   e 2 x - 1 e 2 x + 1

Derivando,

L = lim x → ∞ ⁡   2 × e 2 x 2 × e 2 x

Cortando os termos iguais:

L = lim x → ∞ ⁡   1

Portanto,

L = 1

Resposta

L = 1

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Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 +( ⁡ 3 x + 1 x - 1 s e nx)
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m t → ∞e t + t 2 e t - t
A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma. lim x → ∞ ⁡ 9 x + 1 x + 1