Enunciado

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

17. f → x , y , z = ( - y z , x z , x y ) ; C é a elipse x 2 + 9 y 2 = 36 no ponto z = 2 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E a nossa força f → x , y , z é dada por:

f → x , y , z = ( - y z , x z , x y )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Primeiro vamos esboçar da curva para entender o que está acontecendo... Temos um cilindro deslocado no eixo y e um plano:

Como sabemos, devemos parametrizar C . O objetivo aqui é descobrir a interseção entre a elipse e o plano. Para isso, vamos começar destrinchando a elipse:

x 2 + 9 y 2 = 36

x 2 36 + y 2 4 = 1

x 2 6 2 + y 2 2 2 = 1

Temos que a parametrização da projeção de C no plano x y é dada, em coordenadas polares deslocadas, por:

x = a ⋅ cos ⁡ t

y = b ⋅ sen ⁡ t

Esse a e esse b vem da equação geral da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . Conseguimos então, que:

x = 6 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Show? Mas C é uma curva de três dimensões. Tá faltando a coordenada z que é dada pela equação do plano:

z = 2

A nossa parametrização, então; vai ficar assim:

γ t = ( 6 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t ,   2 )

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = ( - y z , x z , x y )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y , z = ( - y z , x z , x y )

f → x , y , z = ( - 4 sen ⁡ t , 12 cos ⁡ t , 12  sen ⁡ t cos ⁡ t   )

f → x , y , z = ( - 4 sen ⁡ t , 12 cos ⁡ t , 6  sen ⁡ 2 t )

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' t = ( - 6 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 0 )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Já obtemos no P a s s o   1 que 0 ≤ t ≤ 2 π . Nosso limite de integração vai de 0 até 2 π , portanto:

∫ 0 2 π f → x , y d r → = ∫ 0 2 π ( - 4 sen ⁡ t , 12 cos ⁡ t , 6  sen ⁡ 2 t ) ∙ ( - 6 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 0 ) d t

= ∫ 0 2 π 24 s e n 2   t + 24 c o s 2   t d t =

= ∫ 0 2 π 24 d t =

= 24 t 0 2 π =   24 ⋅ 2 π = 48 π

Resposta

48 π

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