Enunciado

Nos exercícios 65 e 66, determine o valor exato da função:

66 .     e sec ⁡ - 1 12 π

Passo 1

Para resolver esse exercício precisamos lembrar de quatro coisas:

  1. A identidade trigonométrica de soma dos ângulos:
  2. s e n   x + y = s e n   x cos ⁡ y + cos ⁡ x s e n   y

    cos ⁡ x + y = cos ⁡ x cos ⁡ y - s e n x   s e n   ( y )

  3. Identidade arco metade:
  4. cos ⁡ x 2 =   1 + cos ⁡ ( x ) 2

  5. A tabelinha super importante de onde tiraremos o nosso resultado.
  6. Quem é secante.

s e c   x = 1 cos ⁡ x

Sabendo disso temos tudo o que precisamos.

Passo 2

Vamos, primeiramente, expressar a secante de outro modo:

sec ⁡ - 1 12 π = 1 cos ⁡ - 1 12 π

Cosseno é uma função par, então: cos ⁡ - x = c o s ⁡ ( x )

= 1 cos ⁡ 1 12 π

= 1 cos ⁡ π 6 2

Passo 3

Usaremos a segunda identidade trigonométrica lembrada no Passo 1:

1 cos ⁡ π 6 2 =   1 1 + cos ⁡ π 6 2  

Achamos um resultado conhecido graças a nossa tabelinha, agora é só substituir e mexer.

1 1 + 3 2 2 = 1 2 + 3 2

= 2 2 + 3

Resposta

sec ⁡ - 1 12 π = 2 2 + 3

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