Enunciado

Durante a tosse há um decréscimo no raio da traqueia de uma pessoa. Suponha que o raio normal da traqueia seja R cm e que durante a tosse o raio seja de r cm, onde R é uma constante e r uma variável. Podemos mostrar que a velocidade do ar através da traqueia é uma função de r e se V r cm/s for essa velocidade, então

V r = k r 2 R - r

Onde k é uma constante positiva e r está em 1 2 R ,   R . Determine o raio da traqueia durante a tosse, para o qual a velocidade do ar através da traqueia seja máxima.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema, mas ele já dos deu a equação, então xuxu beleza.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

A equação que queremos maximizar é:

V r = k r 2 R - r

Reescrevendo de um jeito mais “derivável”:

V r = k ( R r 2 - r 3 )

Passo 3

Agora derivando V :

d V d r = k 2 R r - 3 r 2

Igualando a 0 :

k 2 R r - 3 r 2 = 0

k r 2 R - 3 r = 0

Podemos dividir tudo por r , já que r > 0 .

k 2 R - 3 r = 0

Como k ≠ 0 :

2 R - 3 r = 0

3 r = 2 R

r = 2 3 R

Esse é um dos pontos que pode ser o valor extremo de nosso interesse. Agora precisamos comparar o valor da imagem de r = 2 3 R às imagens dos valores dos extremos do intervalo onde r está definido.

Passo 4

Vamos fazer V 1 2 R ,   V 2 3 R e V R e ver qual dos três será maior:

V 1 2 R =   k R 1 2 R 2 - 1 2 R 3 = 0

V 2 3 R =   k R 2 3 R 2 - 2 3 R 3 = k R 2 4 9 - 8 27 R

= k R 2 12 - 8 R 27

= 4 k R 2 3 - 2 R 27

V R =   k R R 2 - R 3 = 0

Então nossa resposta é r = 2 3 R .

Resposta

2 3 R cm/s.

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