Enunciado

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

2. f x = sen ⁡ x ,   a = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Sabemos pelas condições da tarefa que precisamos determinar polinômios de Taylor de ordem n = 0 ,   n = 1 , n = 2   e   n = 3 . Portanto, a derivada mais alta que precisamos determinar é a terceira derivada.

Como a função f foi criada pela composição da função exponencial e 2 x , então vamos diferenciar a função f usando a Regra da Cadeia:

f ' x = ( sen ⁡ x ) = cos ⁡ x

f ' ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

f ' ' ' x = - sen ⁡ x ' = - cos ⁡ x

Pelas condições do problema, sabemos que estamos procurando o polinômio de Taylor em x = 0 ; a = 0 . Por incluir x = 0 em f , a primeira, segunda e terceira derivadas da função f , obtemos:

f 0 = sen ⁡ 0 = 0

f 1 = cos ⁡ 0 = 1

f 2 = - sen ⁡ 0 = 0

f 3 = - cos ⁡ 0 = - 1

vemos que o polinômio de Taylor de ordem n = 0 é igual ao primeiro termo da soma, ou seja, é igual a f ( 0 ) :

P 0 x = f 0 = 0

Passo 2

Analogamente, pela fórmula, vemos que o polinômio de Taylor de ordem n = 1 é igual à soma do primeiro e segundo termos da soma, ou seja, é igual a f 0 + f ' 0 ∙ ( x - 0 )

P 1 x = f 0 + f ' 0 ∙ x - 0 1 = 0 + x = x

Devemos determinar os polinômios de Taylor de ordens 2 e 3. Fazendo n = 2 e a = 0 , obtemos que

P 2 x = f 0 + f ' 0 ∙ x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2

Desenvolvendo os termos

P 2 x = 0 + 1 x + 0 2 x 2 = x

Passo 3

Fazendo n = 3 e a = 0 , nós podemos obter o polinômio P 3 ( x ) , com isso,

P 3 x = f 0 + f ' 0 ∙ x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3

Com isso, nós temos que

P 3 x = 0 + 1 x + 0 2 x 2 + - 1 6 x 3

Portanto,

P 3 x = x - x 3 3 !

Resposta

P 0 = 0

P 1 = x

P 2 = x

P 3 = x - x 3 3 !

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