Enunciado

Nos Exercícios 33-36, encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de x para os quais a série converge absolutamente.

33. f x = cos ⁡ x - 2 1 - x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, a série de Maclaurin gerada por cos ⁡ x é igual a

1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n 2 n ! + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Usando o Problema 55, Seção 10.7, o raio de convergência desta série é , então esta série é absolutamente convergente em ( - ∞ , ∞ ) . Já no caso de 2 1 - x , temos que

2 1 + x + x 2 + … + x n + … = 2 ∑ n = 0 ∞ x n

Como esta é uma série geométrica, o raio de convergência desta série é 1. Então esta série é absolutamente convergente em - 1,1 .

Passo 2

Então, a série de Maclaurin gerada por cos ⁡ x - 2 1 - x é

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! - 2 ∑ n = 0 ∞ x n = - 1 - 2 x - 5 2 x 2 + …

A série de Taylor gerada por cos ⁡ x é absolutamente convergente em toda a reta real e a série de Taylor gerada por 2 1 - x é absolutamente convergente apenas em - 1,1

Quando a série de Taylor gerada por cos ⁡ x - 2 1 - x é absolutamente convergente apenas na interseção de ( - ∞ , ∞ ) e ( - 1,1 ) , caso contrário, a série de Taylor gerada por 2 1 - x ​ é absolutamente convergente em algum lugar fora do intervalo ( - 1,1 ) .

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! - 2 ∑ n = 0 ∞ x n = - 1 - 2 x - 5 2 x 2 + …

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