Enunciado

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ 3 x - 2 n n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ 3 x - 2 n n + 1 * n 3 x - 2 n < 1

Desenvolvendo matematicamente:

| 3 x - 2 | lim n → ∞ ⁡ n n + 1 < 1

Passo 2

Ou seja:

3 x - 2 < 1

Que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < 3 x - 2 < 1  

Ou:

1 3 < x < 1  

Logo, quando x = 1 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n → s é r i e   h a r m ô n i c a   a l t e r n a d a → c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n → s é r i e   h a r m ô n i c a   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1/3, enquanto o intervalo é 1 3 < x < 1   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é 1 3 < x < 1  
  3. A série converge condicionalmente quando x = 1 3 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1/3, enquanto o intervalo é 1 3 < x < 1   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é 1 3 < x < 1  
  3. A série converge condicionalmente quando x = 1 3 .

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