Enunciado

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

24. f x = 2 x 3 + x 2 + 3 x - 8 ,   a = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para determinar a série de Taylor de f em x = 1 , precisamos determinar as derivadas da função f . Como a função é uma função cúbica, em algum ponto, as derivadas serão iguais a 0 (a partir da quarta derivada),

f ' x = 6 x 2 + 2 x + 3

f ' ' x = 12 x + 2

f ' ' ' x = 12

f ' ' ' ' x = 0

Portanto, para todo k ≥ 4 ,   k ∈ N , a k-ésima derivada da função é igual a 0 .

f k x = 0 ,   k ≥ 4 ,   k ∈ N

Passo 2

A série de Taylor de f no ponto x = 1 , será igual a

∑ k = 0 ∞ f k 2 k ! x k = f 2 + f ' 2 1 ! x - 2 1 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! x - 2 3

No ponto x = 1 , temos que

f 2 = 2 ∙ 1 3 + 1 2 + 3 ∙ 1 - 8 = - 2

f ' 2 = 6 ∙ 1 2 + 2 ∙ 1 + 3 = 11

f ' ' 2 = 12 ∙ 1 + 2 = 14

f ' ' ' 2 = 12

Incorporando esse fato na série de Taylor, obtemos que

∑ k = 0 ∞ f k 2 k ! x k = - 2 + 1 1 ∙ x - 1 + 1 4 2 x - 1 2 + 12 6 x - 1 3

Portanto,

∑ k = 0 ∞ f k 2 k ! x k = 2 x - 1 3 + 7 x - 1 2 + 11 x - 1 - 2

Resposta

2 x - 1 3 + 7 x - 1 2 + 11 x - 1 - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o polinômio de Taylor T n x para a função f em a . Plote f e T n na mesma tela. f x = sen ⁡ x , a = π 6 , n = 3
Encontre o polinômio de Taylor T n x para a função f em a . Plote f e T n na mesma tela. f x = 3 + x 2 , a = 1 , n = 2
Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin de f x = 1 + x 2 .Use a parte a) para avaliar f 10 ( 0 ) .
Expanda f x = x + x 2 / 1 - x 3 como uma série de potências.Use a parte a) para encontrar a soma da série ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n
Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin de f x = 1 / 1 + x 3 .Use a parte a) para avaliar f 9 ( 0 ) .