Enunciado

  1. Use a série binomial para encontrar a série de Maclaurin de f x = 1 + x 2 .
  2. Use a parte a) para avaliar f 10 ( 0 ) .

Passo 1

Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 + x 2 = 1 + x 2 1 / 2

Agora, vamos substituir o valor k = 1 / 2 e no lugar de x colocar x 2 na série. Sendo assim, temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n x 2 n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

1 2 0 = 1

1 2 1 = 1 2 1 = 1 2

1 2 2 = 1 2 ⋅ 1 2 - 1 2 = - 1 ⋅ 1 2 2 ⋅ 2 ⋅ 1

1 2 3 = 1 2 ⋅ 1 2 - 1 ⋅ 1 2 - 2 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

1 2 4 = 1 2 ⋅ 1 2 - 1 ⋅ 1 2 - 2 ⋅ 1 2 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

1 2 5 = 1 2 ⋅ 1 2 - 1 ⋅ 1 2 - 2 ⋅ 1 2 - 3 ⋅ 1 2 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Portanto, o padrão para n ≥ 2 é:

1 2 n = - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n x 2 n = 1 + x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! x 2 n

f x = 1 + x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! x 2 n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).

Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???

A nossa série descreve a nossa função f x . Se queremos saber a décima derivada dela, devemos derivar toda a nossa série 10 vezes e depois aplicar o ponto x = 0 . O único termo que será diferente de zero será o termo de ordem 5 da nossa série.

Isto decorre do seguinte ponto: termos de ordem menor que 5 são multiplicados por x 8 ,   x 6 , x 4 , x 2 , por exemplo. Estes termos, quando derivados mais de 8 vezes, todos serão iguais a 0.

Já os termos maiores vão continuar existindo. Mas quando x = 0 , eles serão iguais a 0. Portanto, teremos que derivar o seguinte termo 10 vezes:

- 1 4 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ x 10

Derivando-o, teremos,

f 10 = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 10 !

E por fim, calculando-o, teremos:

f 10 = 99225

Resposta

  1. f x = 1 + x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! x 2 n

f 10 = 99225

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