Enunciado

Nos Exercícios 33-36, encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de x para os quais a série converge absolutamente.

36. f x = x sen 2 ⁡ x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A série de Maclaurin por sen ⁡ x   é igual a

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + …

Usando o Problema 55, Seção 10.7, o raio de convergência desta série é , então esta série é absolutamente convergente em ( - ∞ , ∞ ) . A série de Maclaurin gerada por x sen 2 ⁡ x é igual a

x ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Com isso, nós temos que

x ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x 3 - x 5 3 + 2 45 x 7 + …

Esta série é absolutamente convergente em ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

x ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ∙ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x 3 - x 5 3 + 2 45 x 7 + …

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