Enunciado

Os Exercícios 9-12 fornecem os focos ou vértices e as excentricidades das elipses centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, encontre a equação de forma padrão da elipse nas coordenadas cartesianas.

Focos: ( 0 , ± 3 )

Excentricidade: 0,5

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será reescrever a equação da elipse dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos a excentricidade e os focos. Para, determinarmos a as coordenadas dos eixos a e b   e construirmos a equação da elipse.

Simbora?

Passo 2

Como nos foi dado os focos ( 0 , ± 3 ) , sabemos que os focos da elipse são dados por F ( 0 , ± c ) , portanto, temos que:

c   = 3

Sendo a excentricidade da elipse dada por e = c a   , com os valore de e = 0 , 5 e c   = 3 obtemos:

0,5 = 3 a ⟹ a = 3 0,5 = 6

Por fim, através do Teorema de Pitágoras, temos que:

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = 6 2 - 3 2 = 36 - 9 = 27

Vale lembrar que os focos ficam no eixo maior, que nesse caso é o eixo y. Logo, a equação da elipse terá o seguinte formato:

x 2 27 + y 2 36 = 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x 2 27 + y 2 36 = 1 .

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