Nos Exercícios de 1 a 10, prove a identidade.

8 senh(3x) = 3 senh x + 4 senh^3 x

Passo 1

Podemos manipular a equação para:

senh  ⁡ 3 x = s e n h   ( 2 x + x )

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

s e n h   x + y = s e n h   x . cosh ⁡ y + cosh ⁡ x . s e n h   y

Então:

s e n h   2 x + x = s e n h   2 x . cosh ⁡ x + cosh ⁡ 2 x . s e n h   x

Pela identidade (13) e (15):

s e n h   2 x = 2 . s e n h   x . cosh ⁡ x

cosh ⁡   ( 2 x ) = 2 . s e n h ²   x + 1

s e n h   2 x + x = ( 2 . s e n h   x . cos h ⁡ x ) . cosh ⁡ x + ( 2 . s e n h ²   x + 1 ) . s e n h   x

s e n h   2 x + x = 2 . s e n h   x . cos h ² ⁡ x + 2 . s e n h ³   x + s e n h   x

Aplicando a identidade (6):

cosh ² ⁡ x = 1 + s e n h ²   x

s e n h   2 x + x = 2 . s e n h   x . ( 1 + s e n h ²   x ) + 2 . s e n h ³   x + s e n h   x

s e n h   2 x + x = 2 . s e n h   x + 2 s e n h ³   x + 2 . s e n h ³   x + s e n h   x

s e n h   2 x + x = 3 . s e n h   x + 4 . s e n h ³   x

Concluindo:

senh  ⁡ 3 x = 3 s e n h   x + 4 s e n h ³ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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