Enunciado

Se n for um inteiro positivo qualquer, prove que

int_0^(pi) sen^2 n x d x = (pi)/(2)

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida primeiro. Pessoal, para resolver vamos começar abaixando o grau da função trigonométrica usando a relação:

sen^2 theta = (1 - cos 2 theta)/(2) -> theta = n x -> sen^2 ( n x ) = (1 - cos 2 n x)/(2)

A integral fica sendo então:

int sen^2 n x d x = int (1 - cos ( 2 n x ))/(2) d x = (1)/(2) int [1 - cos (2 n x)] d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral indefinida utilizando:

int cos a x d x = (sen a x)/(a) + C a != 0

Sendo assim:

(1)/(2) int [1 - cos (2 n x)] d x = (1)/(2) [x - (sen (2 n x))/(2 n)] + C n != 0

Passo 3

Agora resolveremos a integral definida. Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^(pi) sen^2 n x d x = (1)/(2) [x - (sen (2 n x))/(2 n)]_0^(pi) = (1)/(2) [pi - (sen (2 pi n))/(2 n)] - (1)/(2) [0 - (sen (0))/(2 n)]

int_0^(pi) sen^2 n x d x = (1)/(2) [pi - (sen (2 pi n))/(2 n)] - 0 = (pi)/(2) - (sen (2 pi n))/(4 n)

Se n in Z_+^* , então sen (2 pi n) = 0 . Logo,

int_0^(pi) sen^2 n x d x = (pi)/(2)

Está mostrado então.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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