Se n for um inteiro positivo qualquer, prove que

∫ 0 π sen 2 ⁡ n x d x = π 2

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida primeiro. Pessoal, para resolver vamos começar abaixando o grau da função trigonométrica usando a relação:

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2     →       θ = n x       →           sen 2 ⁡ ( n x ) = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

A integral fica sendo então:

∫ sen 2 ⁡ n x d x = ∫ 1 - cos ⁡ ( 2 n x ) 2 d x = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 n x d x  

Passo 2

Agora vamos resolver a integral indefinida utilizando:

∫ cos ⁡ a x d x = sen ⁡ a x a + C           a ≠ 0

Sendo assim:

1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 n x d x = 1 2 x - sen ⁡ 2 n x 2 n + C                   n ≠ 0

Passo 3

Agora resolveremos a integral definida. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 π sen 2 ⁡ n x d x = 1 2 x - sen ⁡ 2 n x 2 n 0 π = 1 2 π - sen ⁡ 2 π n 2 n - 1 2 0 - sen ⁡ 0 2 n

∫ 0 π sen 2 ⁡ n x d x = 1 2 π - sen ⁡ 2 π n 2 n - 0 = π 2 - sen ⁡ 2 π n 4 n

Se n ∈ Z + * , então sen ⁡ 2 π n = 0 . Logo,

∫ 0 π sen 2 ⁡ n x d x = π 2

Está mostrado então.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados