Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

8) lim x → - 2 ⁡ ( 2 + 5 x ) = - 8 ,     ϵ = 0,002

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 2 + 5 x

a = - 2

L = - 8

Sendo assim:

0 < x + 2 < δ

f x + 8 < 0,002

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x + 8 | = 0,002

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 + 8 = - 0,002

f x 2 + 8 = 0,002

Resolvendo:

f x 1 = - 8,002

f x 2 = - 7,998

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = 2 + 5 x 1 = - 8,002

x 1 = - 2,0004

f x 2 = 2 + 5 x 2 = - 7,998

x 2 = - 1,9996

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x + 2 = δ

Para x 1 :

- 2,0004 + 2 = 0,0004

Para x 2 :

- 1,9996 + 2 = 0,0004

Então:

δ = 0,0004

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x + 8 < 0,002

E sabendo que:

f x = 2 + 5 x

Podemos substituir:

2 + 5 x + 8 < 0,002

5 x + 10 < 0,002

5 x + 2 < 0,002

x + 2 < 0,0004

Podemos comparar esta desigualdade obtida com a fornecida pelo problema para δ :

x + 2 < δ

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,0004 .

Resposta

  1. δ = 0,000 4
  2. δ = 0,000 4
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Determine se a ação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.36. Se f ( x ) for uma função racional e x = a estiver no domínio de f , então lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .
Determine se a ação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.33. Se existirem lim x → a ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x ) então também existe lim x → a ⁡ [ f ( x ) + g ( x ) ] .
Encontre os limites.21. lim y → 6 + ⁡ y + 6 y 2 - 36
Encontre os limites.25. lim x → 4 - ⁡ 3 - x x 2 - 2 x - 8
Encontre os limites.29. lim x → 9 ⁡ x - 9 x - 3