Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

11) lim x → - 2 ⁡ ( x ² ) = 4 ,     ϵ = 0,003

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x ²

a = - 2

L = 4

Sendo assim:

0 < x + 2 < δ

f x - 4 < 0,003

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 4 | = 0,003

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 4 = - 0,003

f x 2 - 4 = 0,003

Resolvendo:

f x 1 = 3,997

f x 2 = 4,003

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 ² = 3,997

x 1 = 1,999

f x 2 = x 2 ² = 4,003

x 2 = 2,001

Neste exercício, uma importante consideração deve ser feita. Como a é negativo os valores que se aproximam dele, maiores ou menores, também devem ser negativos. Sendo assim:

x 1 = - 1,999

x 2 = - 2,001

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x + 2 = δ

Para x 1 :

- 1,999 + 2 = 0,001

Para x 2 :

- 2,001 + 2 = 0,001

Então:

δ = 0,001

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 4 < 0,003

E sabendo que:

f x = x ²

Podemos substituir:

x ² - 4 < 0,003

( x - 2 ) ( x + 2 ) < 0,003

Pela definição de módulo:

x - 2 | | ( x + 2 ) < 0,003

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 2 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( x - 2 ) . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x + 2 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x + 2 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x - 2 ) subtraindo 4 aos seus termos:

- 5 < x - 2 < - 3

Usando as propriedades de módulo, no caso de intervalos negativos:

| - 3 | < | x - 2 | < | - 5 |

3 < | x - 2 | < 5

Então:

| x - 2 | < 5

Sendo assim,

x - 2 | | ( x + 2 ) = x + 2 . 5 < 0,003

x - 3 < 3 5000

x - 3 < 0,0006

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,0006 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,001
  2. δ = 0,0006
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