Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

18) lim x → 1 ⁡ ( 3 x 2 - 7 x + 2 ) = - 2 ,     ϵ = 0,02

Passo 1

Faaaaala galerinha, animados?

Olha, respirem bem fundo antes de começar porque esta aqui é um pouquinho confusa de entender, mas com calma e atenção vocês vão tirar de leetra !!

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor δ positivo para a diferença de x - a capaz de permitir um erro menor que ϵ , certo? Enquanto na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Se já sabemos isso vamos definir os valores de f x ,   a   e   L .

Vocês se lembram como escrevemos o limite?

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Comparando com o que nos foi dado:

lim x → 1 ⁡ ( 3 x 2 - 7 x + 2 ) = - 2

Sendo assim:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2

a = 1

L = - 2

Substituindo nossos dados na definição dada na letra (a):

0 < x - 1 < δ

f x + 2 < 0,02

Bom, ainda não chegamos no que queríamos, certo?

Passo 2

Para resolver a letra (a) precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x + 2 | = 0,02

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 + 2 = - 0,02

f x 2 + 2 = 0,02

Quando nós resolvemos achamos dois valores possíveis para as funções, ok?

f x 1 = - 2,02

f x 2 = - 1,98

Se temos dois valores diferentes para a função de segundo grau teremos quatro valore para o x

f x 1 = 3 x 1 ² - 7 x 1 + 2 = - 2,02

x 1 ' = 1,31         o u           x 1 ' ' = 1,02

f x 2 = 3 x 2 ² - 7 x 2 + 2 = - 1,98

x 2 ' = 1,35         o u           x 2 ' ' = 0,98

Como x tende a 1 os valores de x 1   e x 2 escolhidos serão:

x 1 = 1,02

x 2 = 0,98

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação que achamos no Passo 1:

x - 1 = δ

Para x 1 :

1,02 - 1 = 0,02

Para x 2 :

0,98 - 1 = 0,02

Então:

δ = 0,02

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x + 2 < 0,02

E sabendo que:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2

Podemos substituir:

3 x 2 - 7 x + 2 + 2 < 0,02

3 x 2 - 7 x + 4 < 0,02

Para fatorar essa equação nós temos que lembrar que:

a x 2 + b x + c = a x - x ' x - x ' '

Vamos achar as raízes usando a formula que estamos carecas de saber:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 7 ± - 7 2 - 4 3 4 2 3 = 7 ± 1 6

x ' = 1

x ' ' = 4 3

Então:

3 x 2 - 7 x + 4 = 3 x - 1 x - 4 3 = x - 1 x - 4

Substituindo:

x - 1 x - 4 < 0,02

Pela definição de módulo:

x - 1 | | ( x - 4 ) < 0,01

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 1 < δ

Ainda não sabemos nada sobre δ , certo? Queremos descobrir isso de novo aqui para comprovar a letra (a), ok?

Vamos assumir que δ = 1 :

x - 1 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 1 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x - 4 ) subtraindo 3 aos seus termos:

- 4 < x - 4 < - 2

Usando as propriedades de módulo, no caso de intervalos negativos:

| - 2 | < | x - 4 | < | - 4 |

2 < | x - 4 | < 4

Então:

| x - 4 | < 4

Sendo assim:

x - 1 | | ( x - 4 ) = δ . 4 < 0,02

x - 1 < δ = 0,005

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,005 .

Finalizamos mais umaaaa !!

Resposta

  1. δ = 0,02
  2. δ = 0,005
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