Enunciado

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

11. r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 k

Vamos derivar a expressão

r ' t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t i + e t cos ⁡ t + sen ⁡ t j + 0 k

Com isso, a magnitude pode ser calculada da seguinte forma

r ' t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 + 0 2 = e t 2

Lembrando que

T t = r ' t r ' t

Com isso, nós temos que

T t = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t i + e t cos ⁡ t + sen ⁡ t j + 0 k e t 2 = 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t i + 1 2 ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) j + 0   k

Novamente, derivando o termo T

T ' t = 1 2 - s en ⁡ t - cos ⁡ t i + 1 2 ( cos ⁡ t - s en ⁡ t ) j + 0   k

Encontrando a magnitude

T ' ( t ) = 1 2 - sen ⁡ t - cos ⁡ t 2 + 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + 0 2 = 1

Passo 2

Já temos o termo T , agora vamos em busca de N , que é dado da seguinte forma

N t = T ( t ) T ' ( t )

Substituindo os valores, nós temos que

N t = 1 2 - sen ⁡ t - cos ⁡ t i + 1 2 ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) j + 0   k 1 = 1 2 - sen ⁡ t - cos ⁡ t i + 1 2 ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) j + 0   k

E para B = T × N

B = i j k cos ⁡ t - sen ⁡ t - sen ⁡ t + cos ⁡ t 0 - sen ⁡ t - cos ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 = 1 2 k cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 = k

Já para o caso de τ , que é um pouquinho mais complicado, já que envolve derivadas, é dada da seguinte forma

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' i j k x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' 2

Substituindo os valores...

x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) e t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) 0 e t ( - 2 sen ⁡ t ) e t ( 2 cos ⁡ t ) 0 e t ( - 2 sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t ) e t ( 2 cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t ) 0 = 0

Passo 3

Portanto,

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = 0 v × a 2 = 0

Resposta

B = k

τ = 0

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r ’ ( t ) .(c) Esboce o vetor posição r ( t ) e o vetor tangente r ’ ( t ) para o valor dado de t . r t = t - 2 ,t 2 + 1 , t
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 4 ti + t 2j + tk ,t = 1
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais10. r t = cos ⁡ t + t sen ⁡ t i + sen ⁡ t - t cos ⁡ t j + 3
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais15. r t = t i + a cosh ⁡ t a j ,a0
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais. r t = cosh ⁡ t i - s e n ht j + t k