Enunciado

Nos Exercícios 3 e 6, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .

6. r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 e t k ,     t = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nesta tarefa, devemos encontrar os componentes do vetor aceleração aa e escrevê-los na forma:

a = a T T + a N N

Mas sem avaliar a tangente unitária e os vetores normais. Para fazer isso, temos que usar as fórmulas para obter a T e a N ​. Para a curva dada r ( t ) , encontramos seu vetor velocidade diferenciando a equação paramétrica da curva:

v = r ' t

A componente tangencial da aceleração é obtida diferenciando o módulo da velocidade:

a T = d d t v

O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade:

a = d v d t

Finalmente, encontramos a componente normal da aceleração usando a relação:

a n = a 2 - a T

Passo 2

A curva que nos é dada é:

r t = ( e t cos ⁡ t ) i + e t sen ⁡ t j + 2 e t k

O vetor velocidade é obtido tomando a derivada da expressão acima:

v = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) i + e t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) j + ( 2 e t ) k

O módulo do vetor velocidade é:

v = e t 2 sen 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t + 2 = 2 e t

Finalmente, a componente tangencial da aceleração é:

a T = d d t v = 2 e t

Calculando para t = 0 , nós temos que a T 0 = 2

Passo 3

Em seguida, diferenciamos a velocidade mais uma vez para obter o vetor aceleração:

a = e t - 2 sen ⁡ t i + e t 2 cos ⁡ t j + 2 e t t k

Calculando em t = 0 , nós temos que

a 0 = 0 i + 2 j + 2 k

E sua magnitude

a = 4 + 2 = 6

E assim, a componente normal da aceleração é:

a N = a 2 - a T = 6 - 4 = 2

Finalmente, escrevemos o vetor aceleração como:

a = 2 T + 2 N

Resposta

a = 2 T + 2 N

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:4)σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 2 , t 1 = π 2 b) o vetor aceleração A t ;
Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:1)σ t = 2 + cos ⁡ 6 t , 2 + sen ⁡ 6 t , t 1 = π 9 b) o vetor aceleração A
Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:3)σ t = e 2 t , t 2 , t 1 = 0 b) o vetor aceleração A t ;
Nos exercícios de 1 a 6 , σ t denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t . Em cada caso, determine:2)σ t = cos ⁡ 2 t , - 3 sen ⁡ t , t 1 = π b) o vetor aceleração A t ;
O vetor aceleração A(t).