Enunciado

(i) Explique por que a função f tem um ou mais buracos em seu gráfico e estabeleça os valores de x nos quais esses buracos ocorrem. (ii) Determine uma função g cujo gráfico seja idêntico ao de f, mas sem os buracos.

(35) f x = ( x + 2 ) ( x 2 - 1 ) ( x + 2 ) ( x - 1 )

Passo 1

(i) Primeiro, vamos entender o que são esses buracos que o enunciado fala.

Esses buracos são os lugares onde a função não está definida, ou seja, onde a imagem não está definida. Isso acontece, geralmente, graças a valores de x onde vamos ter divisões por 0 ou raiz quadrada de número negativo.

No nosso caso ali, temos f x = ( x + 2 ) ( x 2 - 1 ) ( x + 2 ) ( x - 1 ) . Como não temos uma raiz nessa função, os buracos vão existir se houver alguma divisão por 0 , ou seja, se:

x + 2 x - 1 = 0 .

Olhando para a equação, podemos ver que ela será 0 quando x = - 2 ou x = 1 .

É tranquilo de ver isso, pois ela já está na forma fatorada: x - r 1 x - r 2 = 0 , onde r 1 e r 2 são as raízes da equação.

Beleza! Então já resolvemos o primeiro item!

Passo 2

(ii) Para determinar a função com o gráfico idêntico, mas sem buracos, é simples: vamos apenas simplificar alguns termos da função original! Então:

g x = x + 2 x 2 - 1 x + 2 x - 1

Podemos simplificar o ( x + 2 ) :

g x = ( x 2 - 1 ) ( x - 1 )

Ainda teria um buraco em x = 1 , mas podemos abrir x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) , já que é o produto notável da soma pela diferença:

g x = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )

Assim, vamos simplificar ( x - 1 ) :

g x = ( x + 1 )

Agora, não temos buracos!! O gráfico dela é:

Resposta

(i)   x = - 2 ou x = 1

(ii) g x = x + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico. h x = | x | [ x ]
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico. f x = x 2 - 3 x - 4
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico. F x = x 4 + x 3 - 9 x 2 - 3 x + 18 x 2 + x - 6
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico. f x = x + | x - 1 |
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico. g x = x x