Enunciado

Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função:

y = x 2 + 1 5 0 ⋅ c o s ⁡ ( 100 x )

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos para ser resolvida. Sendo assim, utilizaremos de softwares para obtermos o gráfico da função. Entretanto, antes de colocarmos a “mão na massa”, é necessário discutir o que é uma janela de visualização apropriada. Com estas palavras, a questão pede que, dentro de uma janela, todas as propriedades de uma função estejam nelas, isto é: mudanças de concavidade ou de crescimento/decrescimento; se existe algum máximo/mínimo local; comportamento quando ela vai para o valor de x vai para o infinito; etc.

Vamos exemplificar essa teoria, e para isto tome a função periódica f x = s e n ( x ) . Basta obtermos uma janela com o eixo x variando entre [ - 2 π ; 4 π ] e o eixo y variando entre [ - 1 ; 1 ] que conseguimos esboçar todo o comportamento da nossa função.

Sendo assim, a nossa análise inicial consistirá em obter duas janelas de visualização: uma grande (amplitude da variação de x alta) e uma pequena. A partir destas duas janelas, será discutido as propriedades da função e ajustes serão feitos na janela para assim obtermos uma janela apropriada e o gráfico final da função.

Passo 2

Esta função é obtida a partir da soma de uma parábola com uma função cosseno. Sendo assim, apresentará características de ambas. Para grandes aumentos de | x | , predomina-se o comportamento da parábola. Já para pequenos aumentos, predomina-se o comportamento oscilatório da função cosseno. Os valores de x que regem o predomínio do comportamento oscilatório está relacionado ao período da função, o qual é dado por:

p = 2 π 10 0

Desta forma, vejamos então as duas janelas iniciais:

O gráfico da esquerda (a) e o da direita (b) são as de janela grande e pequena respectivamente. Observando a de janela grande é possível observar o comportamento da parábola da função. Entretanto, não é possível observar o comportamento oscilatório.

Já ao observarmos o gráfico (b) temos o comportamento inverso. Observa-se a oscilação da função, mas não é observado o comportamento da parábola.

Sendo assim, a janela final deve conter as propriedades discutidas no gráfico (a) e (b).

Passo 3

Vamos agora obter um novo gráfico e observar se é possível visualizar tudo que foi discutido anteriormente. Portanto, temos:

O gráfico assim, cuja janela é [ - 0 . 1 5 ; 0 . 15 ] por [ - 0 . 02 ; 0 . 05 ] apresenta todas as propriedades discutidas no passo 2. Logo, é uma janela de visualização apropriada para a nossa função.

Resposta

Janela de [ - 0 . 1 5 ; 0 . 1 5 ] por [ - 0 . 02 ; 0 . 05 ]

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Dada F x = 2 x + 3 , ache F x + h - F x h ,h ≠ 0 .
Dada g x = 3 x 2 - 4 , ache g 3 x 2 - 4 .
Dada f x = 3 x , ache f x + h - f x h ,h ≠ 0 .
Dada f x = 2 x 2 + 5 x - 3 , ache f - 2 .
Dada F x = 2 x + 3 , ache F 1 2 .