Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 41
- Dê uma expressão integral para o momento de inércia em torno do eixo de uma folha fina no formato da suerfície , se a função densidade é .
- Determine o momento de inércia em torno do eixo do funil do exercício .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Para a letra temos que o momento de inércia é:
Onde é a distância da massa ao eixo de referência. E em relação ao eixo temos que a distância até ele é , certo? E ? Esse diferencial pode ser rescrito como . Ok?
Então colocando no integrando temos:
E simplificando temos:
Beleza? Vamos pra letra ?
Passo 2
Agora que temos uma expressão para podemos usar a densidade para calcular o momento de inércia do cone.
O vetor normal vai ser dado por:
Onde é a superfície parametrizada. Vamos calcular?
Como temos que , então uma parametrização possível é:
Assim o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
E o módulo é:
Passo 3
Legal! O próximo passo é determinar a área a ser integrada. A projeção do cone no plano é uma série de círculos com raios que variam entre e , pois . Então a região pode ser dada, em coordenadas polares da seguinte forma:
E o integrando em polares fica:
Pronto, agora é só jogar na integral!
Passo 4
Do passo temos a expressão para o momento de inércia:
E em coordenadas polares temos:
A integral em já pode ser resolvida, pois o integrando independe dessa variável, então:
Agora ficamos apenas com a integração em :
Fazendo as continhas temos aproximadamente:
Resposta
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