Enunciado

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  1. Dê uma expressão integral para o momento de inércia I z em torno do eixo z de uma folha fina no formato da suerfície S , se a função densidade é ρ .
  2. Determine o momento de inércia em torno do eixo z do funil do exercício 38 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para a letra ( a ) temos que o momento de inércia é:

I = ∬ S r 2 d m

Onde r é a distância da massa ao eixo de referência. E em relação ao eixo z temos que a distância até ele é z = x 2 + y 2 , certo? E d m ? Esse diferencial pode ser rescrito como d m = ρ ( x , y , z ) d S . Ok?

Então colocando no integrando temos:

I z = ∬ S x 2 + y 2 2 ρ ( x , y , z ) d S

E simplificando temos:

I z = ∬ S ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d S

Beleza? Vamos pra letra ( b ) ?

Passo 2

Agora que temos uma expressão para I z podemos usar a densidade ρ = 10 - x 2 + y 2 para calcular o momento de inércia do cone.

O vetor normal vai ser dado por:

n → = | r → x × r → y |

Onde r → é a superfície parametrizada. Vamos calcular?

Como temos que z = x 2 + y 2 , então uma parametrização possível é:

x = x y = y z = x 2 + y 2

Assim o vetor r → é:

r → = x i → + y j → + x 2 + y 2 k →

E as derivadas parciais r → x e r → y são:

r → x = 1 i → + x x 2 + y 2 k →

r → y = 1 j → + y x 2 + y 2 k →

E o produto vetorial entre eles é:

r → x × r → y = i → j → k → 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2 = - x x 2 + y 2 i → - y x 2 + y 2 j → - k →

E o módulo é:

r → x × r → y = - x x 2 + y 2 2 + - x x 2 + y 2 2 + - 1 2 = x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) + 1 = 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar a área a ser integrada. A projeção do cone no plano x y é uma série de círculos com raios que variam entre 1 e 4 , pois 1 ≤ z ≤ 4 . Então a região pode ser dada, em coordenadas polares da seguinte forma:

1 ≤ r ≤ 4 0 ≤ θ ≤ 2 π   d A = r . d r . d θ

E o integrando em polares fica:

ρ r , θ = 10 - r 2 = 10 - r

Pronto, agora é só jogar na integral!

Passo 4

Do passo 1 temos a expressão para o momento de inércia:

I z = ∬ S ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d S

E em coordenadas polares temos:

I z = ∫ 0 2 π ∫ 1 4 r 2 2 10 - r r . d r . d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 4 10 r 3 - r 4 d r d θ

A integral em θ já pode ser resolvida, pois o integrando independe dessa variável, então:

I z = 2 π 2 ∫ 1 4 10 r 3 - r 4 d r

Agora ficamos apenas com a integração em r :

I z = 2 π 2 . 10 r 4 4 - r 5 5 1 4 = 2 π 2 5 2 4 4 - 4 5 5 - 5 2 1 4 + 1 5   = 2 π 2 640 - 204,8 - 0,625 + 0,2

Fazendo as continhas temos aproximadamente:

I z = 1,22 π . 10 3

Resposta

( a ) I z = ∬ S ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d S

( b ) I z = 1,22 π . 10 3

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