Enunciado

Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.]

(a) f x = 1 1 - x 2

(b) f x = 5 + 2 x

Passo 1

A ideia aqui é pensar quais contas a gente faz quando precisamos saber o valor da função em um ponto específico. E, então, associamos cada etapa a uma função diferente. Vamos ver melhor na prática!

Passo 2

(a) Em f x = 1 1 - x 2 , se tivermos um valor x = 0 , por exemplo, quais contas faríamos para chegar no valor da função nesse ponto, isto é, em f ( 0 ) ?

Primeiro, acharíamos o valor de 0 2 . Depois, faríamos 1 dividido pela soma de 1 com o oposto do resultado anterior, certo?

Então, são duas etapas: primeiro, passamos pelo x 2 e depois por 1 dividido pela soma de 1 com o oposto desse cara, certo?

Podemos, então, associar essas etapas a duas funções que façam o mesmo:

g x = x 2

E

h x = 1 1 - x

Dessa forma, f ( x ) pode ser escrita como:

f x = 1 1 + g x

Associando h :

f x = h g x

Ou seja:

f x = h ∘ g

Passo 3

(b) E em f x = 5 + 2 x ? Pelo mesmo raciocínio da letra anterior: primeiro, acharíamos o valor de 5 + 2 x e depois jogaríamos o resultado na expressão x , certo?

Então, podemos associar a essas duas funções:

g x = 5 + 2 x

E

h x = x

Dessa forma, f ( x ) pode ser escrita como:

f x = g x

Associando h :

f x = h g x

Ou seja:

f x = h ∘ g

Resposta

(a) h ∘ g , h x = 1 1 - x e g x = x 2

(b) h ∘ g , h x = x e g x = 5 + 2 x

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Desenhe os gráficos de f e f ∘ f . f x = x + 1 , - 2 ≤ x0 x - 1 , 0 ≤ x ≤ 2