Enunciado

Expresse a função na forma por partes, sem usar valores absolutos. [Sugestão: Pode ser útil gerar o gráfico da função.]

(a) f x = 3 + 2 x - 5

(b)   f x = 3 x - 2 - x + 1

Passo 1

(a) Então temos a função   f x = 3 + 2 x - 5 e queremos escrevê-la por partes, o que seria isso? Vamos procurar uma lógica de formação dessa função a partir de intervalos de x . Ou seja, ela vai assumir um valor até um ponto e, a partir dele, assume outro valor. Vamos ver isso com calma.

Vamos usar a sugestão do problema e olhar para a função, para entender melhor do que se trata:

Essa é a nossa função. E você pode ver que até o x = 2,5 ela parece ter um comportamento e, a partir dele, outro comportamento. Nosso intuito é descobrir esses comportamentos! Vamos lá!

Passo 2

Como podemos fazer isso? Cara, a função módulo tem a característica de “ignorar” o sinal, certo? Se for positivo, continua sendo, mas se for negativo, passa a ser positivo. Tudo fica positivo! Ou seja, se x for positivo, continua sendo x , mas se for negativo, fazemos - x e calculamos o valor da função.

Para achar os comportamentos de uma função assim, nós substituímos o | x | por + x (pegando os valores positivos do x ) e por - x (pegando os valores negativos do x ) e vamos achar uma função diferente para cada substituição do x .

Obs.: quando trocamos o sinal do módulo, trocamos o sinal de tudo que está dentro do módulo!

Então, vamos usar o 2 x - 5 → + 2 x - 5 , primeiro:

f x = 3 + 2 x - 5

f x = 3 + 2 x - 5  

f x = 2 x - 2

Essa é a função para os valores maiores que x = 2,5 .

Para os negativos, faremos 2 x - 5 → - 2 x + 5 :

f x = 3 + 2 x - 5

f x = 3 - 2 x + 5  

f x = - 2 x + 8

Essa é a função para os valores menores que x = 2,5 .

Agora, é só juntar essas duas informações! No fim do dia, temos que:

f x = 2 x - 2 ,   s e   x ≥ 2,5 - 2 x + 8 ,   s e   x < 2,5

Prontinho!

Passo 3

(b) Então temos a função   f x = 3 x - 2 - x + 1 e queremos escrevê-la por partes. A ideia será a mesma da letra anterior, ok? Só vai mudar a função.

Vamos usar a sugestão do problema e olhar para a função, para entender melhor do que se trata:

Qual vai ser a grande diferença dessa função para a da letra anterior? Repare ali que temos 3 comportamentos diferentes: um até o x = - 1 , outro dali até x = 2 e o último a partir daí. Por quê isso?

Porque agora temos dois módulos na função. Então, agora, vamos pegar valores quando x - 2 → + x - 2 e x + 1 → + x + 1 , quando x - 2 → - x + 2 ; x + 1 → + x + 1 e quando x - 2 → - x + 2 ; x + 1 → - x - 1 . Ou seja, quando os dois são negativos, um é positivo e o outro é negativo e quando os dois são positivos! Vamos lá!

Obs.: quando trocamos o sinal do módulo, trocamos o sinal dele todo! Repare que trocamos o x - 1 por - x + 1 em algum momento!

Passo 4

Então, vamos usar o x - 2 → + x - 2 e x + 1 → + x + 1 , primeiro:

f x = 3 x - 2 - x + 1

f x = 3 x - 2 - x + 1

f x = 3 x - 6 - x - 1  

f x = 2 x - 7

Essa é a função para os valores a partir do x = 2 .

Agora, faremos x - 2 → - x + 2 ; x + 1 → + x + 1 :

f x = 3 x - 2 - x + 1

f x = 3 - x + 2 - x + 1

f x = - 3 x + 6 - x - 1  

f x = - 4 x + 5

Essa é a função para os entre x = - 1 e x = 2 .

Para os menores que x = - 1 , faremos x - 2 → - x + 2 ; x + 1 → - x - 1 :

f x = 3 x - 2 - x + 1

f x = 3 - x + 2 - - x - 1

f x = - 3 x + 6 + x + 1  

f x = - 2 x + 7

Essa é a função para os valores menores que x = - 1 .

Agora, é só juntar essas três informações! No fim do dia, temos que:

f x = 2 x - 7 ,   s e   x > 2 - 4 x + 5 ,   s e - 1 ≤ x ≤ 2 - 2 x + 7 ,   s e   x < - 1

Prontinho!

Resposta

(a) f x = 2 x - 2 ,   s e   x ≥ 2,5 - 2 x + 8 ,   s e   x < 2,5

(b) f x = 2 x - 7 ,   s e   x > 2 - 4 x + 5 ,   s e - 1 ≤ x ≤ 2 - 2 x + 7 ,   s e   x < - 1

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