Enunciado

Expresse o número como uma razão de inteiros.

3 , overset(-)(417) = 3,417417417 ...

Passo 1

Para transformar isso numa razão de inteiros, ou uma fração, vamos pegar a parte fixa e somar em uma série que vai representar a parte que se repete. Essa série é uma série geométrica, que nós sabemos como encontrar o valor pela fórmula

sum_(n = 0)^(oo) a r^n = (a)/(1 - r)

Passo 2

Para esse numero, a parte fixa é o 3 e o 417 se repete infinitamente, assim

3,417417417 ... = 3 + (417)/(10 0 0) + (417)/(1000^2) + (417)/(1000^3) + ...

Que é a mesma coisa que

3,417417417 ... = 3 + sum_(n = 1)^(oo) 417 ((1)/(100 0))^n

Ela inicia em 1 porque não temos um termo 417 inteiro, então a série não tá no formato de geométrica. Para resolver isso, vamos somar 417 dos dois lados e depois subtraímos

417 + 3,417417417 ... = 3 + 417 + sum_(n = 1)^(oo) 417 ((1)/(1000))^n

420 , 417417417 ... = 3 + sum_(n = 0)^(oo) 417 ((1)/(1000))^n

Passo 3

Aplicando a fórmula

sum_(n = 0)^(oo) 417 ((1)/(1000))^n = (417)/(1 - (1)/(1000)) = (417)/(999 // 1000) = (417000)/(999)

Então

420,417417417 ... = 3 + (417000)/(999)

Subtraindo 417

420,417417417 ... - 417 = 3 + (417000)/(999) - 417

3,417417417 ... = (417000)/(999) - 414

Fazendo o MMC

3,417417417 ... = (417000 - 414 * 999)/(999)

3,417417417 ... = (417000 - 413586)/(999) = (3414)/(999)

Resposta

3,41741 7417 ... = (3414)/(999)

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