Enunciado

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 n  

Passo 1

Para estimar a soma com N termos basta fazer

s ≈ s N = ∑ n = 1 N 1 1 + 2 n

Como a questão pede com os 10 primeiros termos N = 10

s ≈ ∑ n = 1 10 1 1 + 2 n

Para este cálculo, podemos usar um software matemático

s ≈ 0 , 76352

Passo 2

Agora para estimar o erro, vamos usar

R N = s - s N

Podemos dizer que o erro é a soma dos termos seguintes, o que faz sentido já que estamos somando só até uma parte, o nosso erro é o que falta somar, então

R N = a N + 1 + a N + 2 + …

Onde N é o numero de termos que você vai usar, s é a soma total da série e s N é a aproximação, mas nós não sabemos quanto vale a soma desta série, então, vamos estimar o erro por comparação.

Se tivermos uma série ∑ b n = t , onde b n ≥ a n , ∀ n e o erro dessa série é dado por

T N = t - t N

T N = b N + 1 + b N + 2 + …

Podemos dizer que R N ≤ T N , por conta de que a N + 1 + a N + 2 + … < b N + 1 + b N + 2 + … .

Passo 3

Usando

b n = 1 2 n

A soma desta série nós conseguimos calcular, já que é uma série geométrica

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 ⋅ 1 2 n - 1 = 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 / 2 1 / 2 = 1

Agora precisamos da soma dos 10 primeiros termos para calcularmos o erro T N

∑ n = 1 N 1 2 n = ∑ n = 1 10 1 2 n = 0 , 9990234375

Então temos que

R N ≤ 1 - 0 , 99902

R N ≤ 0 , 0009 8

Resposta

s ≈ 0,76352

e r r o ≤ 0 , 0009 8

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