Enunciado

Expresse l o g x   a l o g x 2   a como razão de logaritmo natural e simplifique.

Passo 1

Olá! Pra essa questão nós PRECISAMOS saber essa relação aqui: l o g a   x   =   l n   x l n   a , para todo a > 0 e a ≠ 1 . Olha só, tá vendo que na expressão que o exercício pediu pra simplificar (essa aqui l o g x   a l o g x 2   a ), temos log em cima e log embaixo da fração? Então a gente vai ter que fazer a relação separado pro que tá em cima e pro que tá embaixo. Isso a gente vai fazer no Passo 2.

Passo 2

Pro que tá em cima ( l o g x   a ) , a relação fica assim:

l o g x   a   =   l n   a l n   x

Pro que tá embaixo ( l o g x 2   a ) , a relação fica assim:

l o g x 2   a   =   l n   a l n   x 2

Passo 3

Agora, o exercício quer l o g x   a l o g x 2   a , né? Então vamos jogar as relações aí, assim:

l o g x   a l o g x 2   a   =   l n   a l n   x   l n   a l n   x 2  

Agora, usando a propriedade de divisão de frações… (é aquela do “repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”)

l o g x   a l o g x 2   a   =     l n   a l n   x   ⋅   l n   x 2 l n   a

Cortando o l n   a de cima com o de baixo…

l o g x   a l o g x 2   a   = l n   x 2 l n   x  

Mas repara que l n   x 2 =   2   l n   x por causa da propriedade que desce o expoente que tá dentro do log. Então:

l n   x 2 l n   x   =   2   l n   x l n   x   =   2

porque a gente corta o l n   x de cima com o debaixo.

Resposta

2

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