Enunciado

Encontre uma formula para a inversa da função.

y = 1 - e - x 1 + e - x

Passo 1

Bom pessoal, aqui queremos encontrar uma fórmula para a função inversa da função y dada:

y = 1 - e - x 1 + e - x

O passo a passo para encontrar a função inversa é sempre esse aqui:

Se você tem uma função y = f x

Você precisa reescreve-la, até deixar o x em evidência, assim tendo:

x = f y

Quando você conseguir isso, aí é só trocar x por y , e pronto, você vai ter a função inversa.

y = f - 1 x

Passo 2

Bom, para tentar colocar o x em evidência aqui

y = 1 - e - x 1 + e - x

A primeira coisa que devemos fazer é passar o denominador do lado direito para a esquerda multiplicando:

y 1 + e - x = 1 - e - x

Assim, nós não temos mais uma fração. Por fim, multiplicamos distributivamente o lado esquerdo da equação e obtemos:

y + y e - x = 1 - e - x

Bom, como queremos encontrar a inversa, temos que isolar o x da equação, sendo assim, vou colocar quem tem x para um lado e quem não tem para o outro:

y e - x + e - x = 1 - y

Para tirar o y do lado esquerdo, vou colcoar e - x em evidência:

e - x y + 1 = 1 - y

E por fim, passo y + 1 para o outro lado dividindo:

e - x = 1 - y y + 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o ln dos dois lados da equação:

l n ⁡ ( e - x ) = ln ⁡ 1 - y y + 1

Vamos usar agora a identidade da potência do logaritmo para tirar o x de dentro do ln:

- x ln ⁡ e = ln ⁡ 1 - y y + 1

Como ln ⁡ e = 1 , ficamos com:

x = - ln ⁡ 1 - y y + 1

Agora é só trocar x por y .

f - 1 x = y = - ln ⁡ 1 - x x + 1

Resposta

f - 1 x = y = - ln ⁡ 1 - x x + 1

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