Enunciado

Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral.

∬ D x 2   d A

Passo 1

A questão pede para escrevermos a integral sobre a região dada e em seguida calculá-la. Neste caso, vamos quebrar a integral em quatro partes, uma em a cada quadrante.

Além disso, note que o integrando x 2 é uma função par, e a região de integração é simétrica. Desta forma, podemos calcular a integral apenas sobre a região x ≥ 0 (primeiro e quarto quadrantes, mas não podemos esquecer de multiplicar o resultado por 2 .

No primeiro quadrante, temos que x varia de 0 a 1 , enquanto y vai de y = 1 - x até y = 1 :

∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 x 2   d y   d x

Já no quarto quadrante, y varia de y = - 1 até y = x - 1 . Assim,

∫ 0 1 ∫ - 1 x - 1 x 2   d y   d x

Desta forma,

∬ D x 2   d A = 2   ∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 x 2   d y   d x + ∫ 0 1 ∫ - 1 x - 1 x 2   d y   d x

Passo 2

Fazendo a primeira integral em y :

∬ D x 2   d A = 2   ∫ 0 1 x 2 1 - 1 - x   d x + ∫ 0 1 x 2 x - 1 - - 1   d x

Portanto,

∬ D x 2   d A = 2   ∫ 0 1 x 3   d x + ∫ 0 1 x 3   d x = 4 ∫ 0 1 x 3   d x

Desta forma,

∬ D x 2   d A = 4 x 4 4 0 1 = 1

Resposta

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